4.5°
(=π40)のときの三角関数がどのような値となるのかを調べてみます。
sin4.5°
sinの加法定理より
sin4.5°=sin(22.5°−18°)=sin22.5°cos18°−cos22.5°sin18°
となり、「
sin22.5°,cos22.5°,tan22.5°はどんな数？」、「
sin18°,cos18°,tan18°はどんな数？」より
sin22.5°=√2−√22cos22.5°=√2+√22sin18°=√5−14cos18°=√10+2√54
なので
sin4.5°=√2−√22⋅√10+2√54−√2+√22⋅√5−14=√20−10√2+4√5−2√108−√(2+√2)(6−2√5)8=√20−10√2+4√5−2√108−√12+6√2−4√5−2√108=√20−10√2+4√5−2√10−√12+6√2−4√5−2√108⎛⎜
⎜
⎜⎝=√2(√10−5√2+2√5−√10−√6+3√2−2√5−√10)8⎞⎟
⎟
⎟⎠(a)
となります。
cos4.5°
cosの加法定理より
cos4.5°=cos(22.5°−18°)=cos22.5°cos18°+sin22.5°sin18°=√2+√22⋅√10+2√54+√2−√22⋅√5−14=√20+10√2+4√5+2√108+√(2−√2)(6−2√5)8=√20+10√2+4√5+2√108+√12−6√2−4√5+2√108=√20+10√2+4√5+2√10+√12−6√2−4√5+2√108⎛⎜
⎜
⎜⎝=√2(√10+5√2+2√5+√10+√6−3√2−2√5+√10)8⎞⎟
⎟
⎟⎠(b)
となります。
tan4.5°
三角関数の相互関係
tanθ=sinθcosθと
(a),(b)より
tan4.5°=sin4.5°cos4.5°=√2(√10−5√2+2√5−√10−√6+3√2−2√5−√10)8√2(√10+5√2+2√5+√10+√6−3√2−2√5+√10)8=√10−5√2+2√5−√10−√6+3√2−2√5−√10√10+5√2+2√5+√10+√6−3√2−2√5+√10=√(10+2√5)−(5√2+√10)−√(6−2√5)+(3√2−√10)√10+5√2+2√5+√10+√6−3√2−2√5+√10⋅√(10+2√5)+(5√2+√10)−√(6−2√5)−(3√2−√10)√10+5√2+2√5+√10−√6−3√2−2√5+√10=√60+20√5−√60−40√2−12√5+8√104(1+2√2+√5)+√28−12√5−√60+40√2−12√5−8√104(1+2√2+√5)=√15+5√5−√15−10√2−3√5+2√102(1+2√2+√5)+√7−3√5−√15+10√2−3√5−2√102(1+2√2+√5)=⎛⎜
⎜⎝√15+5√5−√15−10√2−3√5+2√102{(1+√5)+2√2}+√7−3√5−√15+10√2−3√5−2√102{(1+√5)+2√2}⎞⎟
⎟⎠⋅1+√5−2√2(1+√5)−2√2=√260−160√2+100√5−80√10−√180−120√2+52√5−40√104(√5−1)+√68+32√2−28√5−16√10−√180+120√2−76√5−56√104(√5−1)=√65−40√2+25√5−20√10−√45−30√2+13√5−10√102(√5−1)+√17+8√2−7√5−2√10−√45+30√2−19√5−14√102(√5−1)=⎛⎜
⎜⎝√65−40√2+25√5−20√10−√45−30√2+13√5−10√102(√5−1)+√17+8√2−7√5−2√10−√45+30√2−19√5−14√102(√5−1)⎞⎟
⎟⎠⋅√5+1√5+1=√640−440√2+280√5−200√10−√400−280√2+168√5−120√108+√32+8√2−8√5−8√10−√80+40√2−24√5−24√108=√160−110√2+70√5−50√10−√100−70√2+42√5−30√104+√8+2√2−2√5−2√10−√20+10√2−6√5−6√104
となります。
それぞれの近似値は以下のようになります。
sin4.5°=0.078459cos4.5°=0.99692tan4.5°=0.078702
