$22.5°\ (=\dfrac{\pi}{8})$のとき三角関数がどんな式で表されるのかを調べてみました。
$\sin22.5°$
半角の公式
\[\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}\]
より
\begin{align*}\sin^2
22.5°&=\frac{1-\cos45°}{2}\\[0.5em]&=\frac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}\\[0.5em]&=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\\[0.5em]\sin22.5°&=\underline{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}&(\because\sin22.5°>0)\end{align*}
$\cos22.5°$
半角の公式
\[\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}\]
より
\begin{align*}\cos^2
22.5°&=\frac{1+\cos45°}{2}\\[0.5em]&=\frac{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}\\[0.5em]&=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\\[0.5em]\cos22.5°&=\underline{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}&(\because\cos22.5°>0)\end{align*}
$\tan22.5°$
\[\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
より
\begin{align*}\tan22.5°&=\frac{\sin22.5°}{\cos22.5°}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}{\cfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}×\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}×\frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\underline{\sqrt{2}-1}\end{align*}
それぞれの近似値は以下のようになります。
\begin{align*}\sin22.5°&=0.38268\\[1em]\cos22.5°&=0.92388\\[1em]\tan22.5°&=0.41421\end{align*}
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