22.5° (=π8)のとき三角関数がどんな式で表されるのかを調べてみました。
sin22.5°
半角の公式
sin2θ2=1−cosθ2
より
sin222.5°=1−cos45°2=1−√222=2−√24sin22.5°=√2−√22−−−−−−−−−(∵sin22.5°>0)
cos22.5°
半角の公式
cos2θ2=1+cosθ2
より
cos222.5°=1+cos45°2=1+√222=2+√24cos22.5°=√2+√22−−−−−−−−−(∵cos22.5°>0)
tan22.5°
tanθ=sinθcosθ
より
tan22.5°=sin22.5°cos22.5°=√2−√22√2+√22=√2−√2√2+√2×√2+√2√2+√2=√22+√2×2−√22−√2=√2−1−−−−−−
それぞれの近似値は以下のようになります。
sin22.5°=0.38268cos22.5°=0.92388tan22.5°=0.41421