面積の等しい三角形の作図（三角形の等積変形）

図1　$△ABC$

「図1の$△ABC$を以下の条件で等積変形した三角形を作図せよ。

(1)$∠BCD=90°$となる直角三角形$DBC$

(2)$AB=BE$となる二等辺三角形$ABE$

(3)辺$AC$を底辺としたとき$△ABC$と高さが等しい$△FBM$
ただし、頂点$M$は辺$AC$の中点である」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

(1)$∠BCD=90°$となる直角三角形$DBC$

1.

辺$BC$の$C$の側を延長し、$BC$に平行な直線を頂点$A$を通るように引きます。

2.

頂点$C$を中心に円弧を描き、半直線$BC$との交点を$a,b$とします。
半径が等しい円弧を点$a,b$それぞれを中心として描き$BC$に対する垂線を作図し、点$A$を通る平行線との交点を$D$とします。

3.

$△DBC$を描きます。
頂点$A$を辺$BC$に平行な直線上の点$D$まで移動させているので$△ABC$と$△DBC$の面積は等しいです。

(2)$AB=BE$となる二等辺三角形$ABE$

1.

辺$AB$に平行な直線を頂点$C$を通るように引きます。

2.

$AB$の長さを半径とする円弧を頂点$B$を中心として描き、頂点$C$を通る平行線との交点を$E$とします。
線分$BE$を引きます。

3.

$△ABE$を描きます。
頂点$C$を辺$AB$に平行な直線上の点Eまで移動させているので$△ABC$と$△ABE$の面積は等しいです。

(3)$△ABC$と高さが等しい$△FBM$

1.

頂点$A,C$それぞれを中心として半径の等しい円弧を描き、辺$AC$の垂直二等分線を作図します。辺$AC$とその垂直二等分線との交点を$M$とします。

2.

辺$AC$の$A$の側を延長し、$AC$の長さを半径とする円弧を点$M$を中心として描き、半直線$CA$との交点を$F$とします。

3.

$△FBM$を描きます。
辺$FM$は辺$AC$の長さを変えずに直線$AC$上を移動させたものなので頂点$B$との距離は変わりません、すなわち辺$AC,FM$をそれぞれ底辺としたとき$△ABC$と$△FBM$の高さが等しいので面積も等しいです。

2.で辺$AC$の$C$の側を延長した場合も同様に等積変形でき、これは別解となります。

関連：三角形の等積変形