$(k+1)^5$と$k^5$の差を考え
\[(k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1\]
という式を作ります。この式の$k$に1を代入した式、2を代入した式、3を代入した式…、$n$を代入した式をつくり、全てを足し合わせます。
すると左辺は
\begin{align*}(左辺)&=(2^5-1^5)+(3^5-2^5)+\cdots\\
&\qquad\cdots+\{n^5-(n-1)^5\}+\{(n+1)^5-n^5\}\\[0.5em]&=(n+1)^5-1^5\\[0.5em] &=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n\\[0.5em] &=n^5+5n(n^3+2n^2+2n+1)\\[0.5em] &=n^5+5n(n+1)(n^2+n+1)\end{align*}
右辺は
\begin{align*}(右辺)&=5\sum^n_{k=1}k^4+10\sum^n_{k=1}k^3+10\sum^n_{k=1}k^2+5\sum^n_{k=1}k+\sum^n_{k=1}1\\[0.5em] &=5\sum^n_{k=1}k^4+\frac{5}{2}n^2(n+1)^2+\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)+\frac{5}{2}n(n+1)+n\\[0.5em] &=5\sum^n_{k=1}k^4+\frac{5}{2}n(n+1)(n^2+n+1)+\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)+n\end{align*}
したがって、
\begin{align*}&n^5+5n(n+1)(n^2+n+1)\\
&\qquad=5\sum^n_{k=1}k^4+\frac{5}{2}n(n+1)(n^2+n+1)+\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)+n\\[0.5em]&\begin{aligned}5\sum^n_{k=1}k^4&=n^5-n+\frac{5}{2}n(n+1)(n^2+n+1)-\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)\\[0.5em] &=n(n+1)(n^3-n^2+n-1)+\frac{5}{2}n(n+1)(n^2+n+1)\\
&\qquad-\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)\\[0.5em]&=\frac{1}{6}n(n+1)\{6(n^3-n^2+n-1)+15(n^2+n+1)-10(2n+1)\}\\[0.5em]&=\frac{1}{6}n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)\\[0.5em]&=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)\\[0.5em] \sum^n_{k=1}k^4&=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)\end{aligned}\end{align*}
となります。
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