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| 図1 正三角形の各部分の面積比は？ |
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
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| 図2 \text{AG, BG, CG}で分割 |
すると緑の四角形は□\text{ADGF}、赤い四角形は□\text{BEGD}、青い四角形は□\text{CFGE}となるので、□\text{ADGF}:□\text{BEGD}:□\text{CFGE}を求めることになります。
線分\text{AG, BG, CG}を引き、△\text{GAB, }△\text{GBC, }△\text{GCA}に分割します。これらの三角形は合同なので面積は等しいです。
またこうして分割すると各四角形の面積は
\begin{align*}□\text{ADGF}&=△\text{GAD}+△\text{GFA}\tag{a}\\[1em]□\text{BEGD}&=△\text{GBE}+△\text{GDB}\tag{b}\\[1em]□\text{CFGE}&=△\text{GCF}+△\text{GEC}\tag{c}\end{align*}
となります。
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| 図3 △\text{GAB} |
辺\text{AB}を底辺とすると△\text{GAD}と△\text{GDB}は高さが同じなので底辺の長さの比と面積比は等しくなります。したがって
△\text{GAD}:△\text{GDB}=5:1
また、△\text{GAB}の面積を\text{S}とおけば
\begin{align*}△\text{GAD}&=\frac{5}{6}\text{S}\tag1\\[1em]△\text{GDB}&=\frac{1}{6}\text{S}\tag2\end{align*}
となります。
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| 図4 △\text{GBC} |
△\text{GAB}のときと同様、辺\text{BC}を底辺とすれば△\text{GBE}と△\text{GEC}の面積比は底辺の長さの比と等しくなるので
△\text{GBE}:△\text{GEC}=3:1
△\text{GBC}の面積は△\text{GAB}と等しいのでこれを\text{S}とおけば
\begin{align*}△\text{GBE}&=\frac{3}{4}\text{S}\tag3\\[1em]△\text{GEC}&=\frac{1}{4}\text{S}\tag4\end{align*}
となります。
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| 図5 △\text{GCA} |
これも△\text{GAB}と同様、△\text{GCF}と△\text{GFA}の面積比は\text{CA}の内分比と等しくなるので
△\text{GCF}:△\text{GFA}=4:1
△\text{GCA}の面積も△\text{GAB}と等しいので\text{S}をもちいれば
\begin{align*}△\text{GCF}&=\frac{4}{5}\text{S}\tag5\\[1em]△\text{GFA}&=\frac{1}{5}\text{S}\tag6\end{align*}
となります。
\text{(a), (b), (c)}に(1), (2), (3), (4), (5), (6)を代入すると
\begin{align*}□\text{ADGF}&=\frac{5}{6}\text{S}+\frac{1}{5}\text{S}\\[0.5em]&=\frac{31}{30}\text{S}\\[1em]□\text{BEGD}&=\frac{1}{6}\text{S}+\frac{3}{4}\text{S}\\[0.5em]&=\frac{11}{12}\text{S}\\[1em]□\text{CFGE}&=\frac{1}{4}\text{S}+\frac{4}{5}\text{S}\\[0.5em]&=\frac{21}{20}\text{S}\end{align*}
となるので、求める面積比は
\begin{align*}□\text{ADGF}:□\text{BEGD}:□\text{CFGE}&=\frac{31}{30}\text{S}:\frac{11}{12}\text{S}:\frac{21}{20}\text{S}\\[0.5em]&=\underline{62:55:63}\end{align*}
となります。
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