正三角形の中の図形の面積比

図1　正三角形の各部分の面積比は？

「図1のように正三角形の辺はそれぞれ$3:1,\ 4:1,\ 5:1$に内分されている。正三角形の重心からそれぞれの内分点に線を引き3つの四角形に分割する。このとき緑の四角形と赤い四角形と青い四角形の面積比を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

図2　$AG,BG,CG$で分割

　まずは図2のように頂点、内分点、重心にアルファベットを振ります。
すると緑の四角形は$□ADGF$、赤い四角形は$□BEGD$、青い四角形は$□CFGE$となるので、$□ADGF:□BEGD:□CFGE$を求めることになります。
線分$AG,BG,CG$を引き、$△GAB,△GBC,△GCA$に分割します。これらの三角形は合同なので面積は等しいです。

またこうして分割すると各四角形の面積は

\begin{align*}□ADGF&=△GAD+△GFA\tag{a}\\[1em]□BEGD&=△GBE+△GDB\tag{b}\\[1em]□CFGE&=△GCF+△GEC\tag{c}\end{align*}

となります。

図3　$△GAB$

　$△GAB$について考えます。
辺$AB$を底辺とすると$△GAD$と$△GDB$は高さが同じなので底辺の長さの比と面積比は等しくなります。したがって

\[△GAD:△GDB=5:1\]

また、$△GAB$の面積を$S$とおけば

\begin{align*}△GAD&=\frac{5}{6}S\tag1\\[1em]△GDB&=\frac{1}{6}S\tag2\end{align*}

となります。

図4　$△GBC$

　$△GBC$について考えます。
$△GAB$のときと同様、辺$BC$を底辺とすれば$△GBE$と$△GEC$の面積比は底辺の長さの比と等しくなるので

\[△GBE:△GEC=3:1\]

$△GBC$の面積は$△GAB$と等しいのでこれを$S$とおけば

\begin{align*}△GBE&=\frac{3}{4}S\tag3\\[1em]△GEC&=\frac{1}{4}S\tag4\end{align*}

となります。

図5　$△GCA$

　$△GCA$について考えます。
これも$△GAB$と同様、$△GCF$と$△GFA$の面積比は$CA$の内分比と等しくなるので

\[△GCF:△GFA=4:1\]

$△GCA$の面積も$△GAB$と等しいので$S$をもちいれば

\begin{align*}△GCF&=\frac{4}{5}S\tag5\\[1em]△GFA&=\frac{1}{5}S\tag6\end{align*}

となります。

　$\text{(a),(b),(c)}$に$(1),(2),(3),(4),(5),(6)$を代入すると

\begin{align*}□ADGF&=\frac{5}{6}S+\frac{1}{5}S\\[0.5em]&=\frac{31}{30}S\\[1em]□BEGD&=\frac{1}{6}S+\frac{3}{4}S\\[0.5em]&=\frac{11}{12}S\\[1em]□CFGE&=\frac{1}{4}S+\frac{4}{5}S\\[0.5em]&=\frac{21}{20}S\end{align*}

となるので、求める面積比は

\begin{align*}□ADGF:□BEGD:□CFGE&=\frac{31}{30}S:\frac{11}{12}S:\frac{21}{20}S\\[0.5em]&=\underline{62:55:63}\end{align*}

となります。

関連：三角形の重心とその性質