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| 図1 正三角形の各部分の面積比は？ |
「図1のように正三角形の辺はそれぞれ$3:1,\ 4:1,\ 5:1$に内分されている。正三角形の重心からそれぞれの内分点に線を引き3つの四角形に分割する。このとき緑の四角形と赤い四角形と青い四角形の面積比を求めよ。」
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| 図2 AG、BG、CGで分割 |
まずは図2のように頂点、内分点、重心にアルファベットを振ります。
すると緑の四角形は$□ADGF$、赤い四角形は$□BEGD$、青い四角形は$□CFGE$となるので、$□ADGF:□BEGD:□CFGE$を求めることになります。
またこうして分割すると各四角形の面積は
\begin{align*}□ADGF&=△GAD+△GFA\quad\cdots(a)\\ \\
□BEGD&=△GBE+△GDB\quad\cdots(b)\\ \\
□CFGE&=△GCF+△GEC\quad\cdots(c)\end{align*}
となります。
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| 図3 △GAB |
辺$AB$を底辺とすると$△GAD$と$△GDB$は高さが同じなので底辺の長さの比と面積比は等しくなります。したがって
\[△GAD:△GDB=5:1\]
また、$△GAB$の面積を$S$とおけば
\begin{align*}△GAD&=\frac{5}{6}S\quad\cdots(1)\\ \\
△GDB&=\frac{1}{6}S\quad\cdots(2)\end{align*}
となります。
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| 図4 △GBC |
$△GAB$のときと同様、辺$BC$を底辺とすれば$△GBE$と$△GEC$の面積比は底辺の長さの比と等しくなるので、
\[△GBE:△GEC=3:1\]
$△GBC$の面積は$△GAB$と等しいのでこれを$S$とおけば
\begin{align*}△GBE&=\frac{3}{4}S\quad\cdots(3)\\ \\
△GEC&=\frac{1}{4}S\quad\cdots(4)\end{align*}
となります。
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| 図5 △GCA |
これも$△GAB$と同様、$△GCF$と$△GFA$の面積比は$CA$の内分比と等しくなるので
\[△GCF:△GFA=4:1\]
$△GCA$の面積も$△GAB$と等しいので$S$をもちいれば
\begin{align*}△GCF&=\frac{4}{5}S\quad\cdots(5)\\ \\
△GFA&=\frac{1}{5}S\quad\cdots(6)\end{align*}
となります。 (a)、(b)、(c)に(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)を代入すると
\begin{align*}□ADGF&=\frac{5}{6}S+\frac{1}{5}S\\ \\ &=\frac{31}{30}S\\
\\ □BEGD&=\frac{1}{6}S+\frac{3}{4}S\\ \\ &=\frac{11}{12}S\\ \\
□CFGE&=\frac{1}{4}S+\frac{4}{5}S\\ \\ &=\frac{21}{20}S\end{align*}
となるので、求める面積比は
\begin{align*}□ADGF:□BEGD:□CFGE&=\frac{31}{30}S:\frac{11}{12}S:\frac{21}{20}S\\
\\ &=\underline{62:55:63}\end{align*}
となります。
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