ひし形の対角線がひし形の内角の二等分線であることを確かめてみる

ひし形$\text{ABCD}$には以下の性質があります。

$$\begin{align}\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DA}\\[0.5em]\text{AB}//\text{CD, BC}//\text{DA}\end{align}$$

ひし形$\text{ABCD}$に対角線$\text{AC, BD}$を引き、対角線同士の交点を$\text{O}$とします。

$△\text{ABO}$と$△\text{CDO}$について考えます。

$(1)$より$\text{AB}=\text{CD}$
$(2)$より錯角は等しいので$∠\text{ABO}=∠\text{CDO, }∠\text{BAO}=∠\text{DCO}$

1組の辺の長さとその両端の角がそれぞれ等しいので$△\text{ABO}$と$△\text{CDO}$は合同です。

したがって、

$$\begin{align}\text{AO}=\text{CO}\\[0.5em]\text{BO}=\text{DO}\end{align}$$

次に$△\text{ABO}$と$△\text{CBO, }△\text{ADO}$について考えます。

$(1), (3), (4)$より3組の辺の長さがそれぞれ等しいので$△\text{ABO}$と$△\text{CBO, }△\text{ADO}$は合同です。
したがって、$△\text{ABO, }△\text{CBO, }△\text{CDO, }△\text{ADO}$は合同であることがわかります。

このことから

$$\begin{align*}∠\text{ABO}&=∠\text{CBO, }\ ∠\text{BCO}&=∠\text{DCO}\\[0.5em]∠\text{CDO}&=∠\text{ADO, }\ ∠\text{DAO}&=∠\text{BAO}\end{align*}$$

となるため、ひし形$\text{ABCD}$の対角線$\text{AC, BD}$はひし形$\text{ABCD}$の内角の二等分線であることがわかります。

関連：ひし形の対角線が互いの垂直二等分線であることの証明