ひし形
ABCDには以下の性質があります。
AB=BC=CD=DAAB//CD, BC//DA(1)(2)
ひし形ABCDに対角線AC, BDを引き、対角線同士の交点をOとします。
△ABOと
△CDOについて考えます。
(1)より
AB=CD
(2)より錯角は等しいので
∠ABO=∠CDO, ∠BAO=∠DCO
1組の辺の長さとその両端の角がそれぞれ等しいので△ABOと△CDOは合同です。
したがって、
AO=COBO=DO(3)(4)
次に
△ABOと
△CBO, △ADOについて考えます。
(1),(3),(4)より3組の辺の長さがそれぞれ等しいので
△ABOと
△CBO, △ADOは合同です。
したがって、
△ABO, △CBO, △CDO, △ADOは合同であることがわかります。
このことから
∠ABO=∠CBO, ∠BCO=∠DCO∠CDO=∠ADO, ∠DAO=∠BAO
となるため、ひし形
ABCDの対角線
AC, BDはひし形
ABCDの内角の二等分線であることがわかります。