\begin{align}\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DA}\\[0.5em]\text{AB}//\text{CD, BC}//\text{DA}\end{align}
ひし形$\text{ABCD}$に対角線$\text{AC, BD}$を引き、対角線同士の交点を$\text{O}$とします。
$△\text{ABO}$と$△\text{CDO}$について考えます。
$(1)$より$\text{AB}=\text{CD}$
$(2)$より錯角は等しいので$∠\text{ABO}=∠\text{CDO, }∠\text{BAO}=∠\text{DCO}$
$(2)$より錯角は等しいので$∠\text{ABO}=∠\text{CDO, }∠\text{BAO}=∠\text{DCO}$
1組の辺の長さとその両端の角がそれぞれ等しいので$△\text{ABO}$と$△\text{CDO}$は合同です。
したがって、
\begin{align}\text{AO}=\text{CO}\\[0.5em]\text{BO}=\text{DO}\end{align}
次に$△\text{ABO}$と$△\text{CBO, }△\text{ADO}$について考えます。
$(1), (3), (4)$より3組の辺の長さがそれぞれ等しいので$△\text{ABO}$と$△\text{CBO, }△\text{ADO}$は合同です。
したがって、$△\text{ABO, }△\text{CBO, }△\text{CDO, }△\text{ADO}$は合同であることがわかります。
したがって、$△\text{ABO, }△\text{CBO, }△\text{CDO, }△\text{ADO}$は合同であることがわかります。
このことから
\begin{align*}∠\text{ABO}&=∠\text{CBO, }\ ∠\text{BCO}&=∠\text{DCO}\\[0.5em]∠\text{CDO}&=∠\text{ADO, }\ ∠\text{DAO}&=∠\text{BAO}\end{align*}
となるため、ひし形$\text{ABCD}$の対角線$\text{AC, BD}$はひし形$\text{ABCD}$の内角の二等分線であることがわかります。
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