ひし形の対角線がひし形の内角の二等分線であることを確かめてみる

ひし形ABCDには以下の性質があります。

\begin{align}AB=BC=CD=DA\\ AB//CD,BC//DA\end{align}

ひし形ABCDに対角線AC、BDを引き、対角線同士の交点をOとします。

△ABOと△CDOについて考えます。

(1)より$AB=CD$

(2)より錯角は等しいので$∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO$

1組の辺の長さとその両端の角が等しいので△ABOと△CDOは合同です。

したがって、

\begin{align}AO=CO\\ BO=DO\end{align}

次に△ABOと△CBO、△ADOについて考えます。

(1)、(3)、(4)より3組の辺の長さが等しいので△ABOと△CBO、△ADOは合同です。

したがって、△ABO、△CBO、△CDO、△ADOは合同であることがわかります。

このことから

\begin{align*}∠ABO=∠CBO\\ ∠BCO=∠DCO\\ ∠CDO=∠ADO\\ ∠DAO=∠BAO\end{align*}

となるため、ひし形ABCDの対角線AC、BDはひし形ABCDの内角の二等分線であることがわかります。

関連：ひし形の対角線が互いの垂直二等分線であることの証明