角の二等分ベクトルはどうやって求める？ ~ 数学について考えてみる

2022年2月20日

角の二等分ベクトルはどうやって求める？

PLUMBAGO

　角の二等分ベクトルはどのように求めるのでしょうか？

角の二等分ベクトルを角の二等分線の作図法を参考に2通りの方法で求めてみます。

2つの異なるベクトル

$\vec{a},\vec{b}$ について考えます。
角の二等分線の作図法を参考にすると、まずは大きさが同じで

$\vec{a},\vec{b}$ とそれぞれ向きが同じであるベクトルをおく必要があります。

したがって、

$\vec{a},\vec{b}$ それぞれの単位ベクトル

$\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|},\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ をおきます。各ベクトル自身の大きさで割っている（実数倍している）ので各単位ベクトルの向きはそれぞれ

$\vec{a},\vec{b}$ と同じで大きさは

$1$ になります。

ここから2通りの方法で求めてみます。

1. 二等辺三角形の利用

2つの単位ベクトルの差は

$\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}-\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ と書けます。

$\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|},\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|},\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}-\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ の3ベクトルによって二等辺三角形ができ、

$\vec{a},\vec{b}$ の始点である頂点からのびる中線は垂直二等分線であり、かつ求める角の二等分線（角の二等分ベクトル）です。

このことから、角の二等分ベクトル

$\vec{p}$ は

$\vec{b}$ と

$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}-\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)$ の合成で表されるので

$\begin{align*}\vec{p}&=\vec{b}+\frac{1}{2}\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}-\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\\[0.5em]&=\frac{\vec{a}}{2|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{2|\vec{b}|}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\end{align*}$

実数倍したベクトルも元のベクトルと向きは同じなので係数を

$1$ にするために2倍した角の二等分ベクトル

$\vec{\text{P}}$ は

$\begin{align*}\vec{\text{P}}&=2\vec{p}\\[0.5em]&=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\end{align*}$

となります。