角の二等分ベクトルはどのように求めるのでしょうか?
角の二等分ベクトルを角の二等分線の作図法を参考に2通りの方法で求めてみます。
したがって、→a,→b⃗a,⃗bそれぞれの単位ベクトル→a|→a|,→b|→b|⃗a|⃗a|,⃗b|⃗b|をおきます。各ベクトル自身の大きさで割っている(実数倍している)ので各単位ベクトルの向きはそれぞれ→a,→b⃗a,⃗bと同じで大きさは11になります。
ここから2通りの方法で求めてみます。
1. 二等辺三角形の利用
2つの単位ベクトルの差は→a|→a|−→b|→b|⃗a|⃗a|−⃗b|⃗b|と書けます。
→a|→a|,→b|→b|,→a|→a|−→b|→b|⃗a|⃗a|,⃗b|⃗b|,⃗a|⃗a|−⃗b|⃗b|の3ベクトルによって二等辺三角形ができ、→a,→b⃗a,⃗bの始点である頂点からのびる中線は垂直二等分線であり、かつ求める角の二等分線(角の二等分ベクトル)です。
→a|→a|,→b|→b|,→a|→a|−→b|→b|⃗a|⃗a|,⃗b|⃗b|,⃗a|⃗a|−⃗b|⃗b|の3ベクトルによって二等辺三角形ができ、→a,→b⃗a,⃗bの始点である頂点からのびる中線は垂直二等分線であり、かつ求める角の二等分線(角の二等分ベクトル)です。
このことから、角の二等分ベクトル→p⃗pは→b⃗bと12(→a|→a|−→b|→b|)12(⃗a|⃗a|−⃗b|⃗b|)の合成で表されるので
→p=→b+12(→a|→a|−→b|→b|)=→a2|→a|+→b2|→b|=12(→a|→a|+→b|→b|)⃗p=⃗b+12(⃗a|⃗a|−⃗b|⃗b|)=⃗a2|⃗a|+⃗b2|⃗b|=12(⃗a|⃗a|+⃗b|⃗b|)
実数倍したベクトルも元のベクトルと向きは同じなので係数を11にするために2倍した角の二等分ベクトル→P⃗Pは
→P=2→p=→a|→a|+→b|→b|⃗P=2⃗p=⃗a|⃗a|+⃗b|⃗b|
となります。
2. ひし形の利用
以上から、2つの異なるベクトル→a,→b⃗a,⃗bの角の二等分ベクトルは
→a|→a|+→b|→b|⃗a|⃗a|+⃗b|⃗b|
で求められることがわかりました。
Share: