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2022年2月20日

角の二等分ベクトルはどうやって求める?

 角の二等分ベクトルはどのように求めるのでしょうか?


角の二等分ベクトルを角の二等分線の作図法を参考に2通りの方法で求めてみます。
ベクトルaとベクトルb
2つの異なるベクトルa,ba,bについて考えます。
角の二等分線の作図法を参考にすると、まずは大きさが同じでa,ba,bとそれぞれ向きが同じであるベクトルをおく必要があります。

したがって、a,ba,bそれぞれの単位ベクトルa|a|,b|b|a|a|,b|b|をおきます。各ベクトル自身の大きさで割っている(実数倍している)ので各単位ベクトルの向きはそれぞれa,ba,bと同じで大きさは11になります。

ここから2通りの方法で求めてみます。

1. 二等辺三角形の利用

単位ベクトルの差
2つの単位ベクトルの差はa|a|b|b|a|a|b|b|と書けます。
a|a|,b|b|,a|a|b|b|a|a|,b|b|,a|a|b|b|の3ベクトルによって二等辺三角形ができ、a,ba,bの始点である頂点からのびる中線は垂直二等分線であり、かつ求める角の二等分線(角の二等分ベクトル)です。

単位のベクトルと角の二等分ベクトル
このことから、角の二等分ベクトルppbb12(a|a|b|b|)12(a|a|b|b|)の合成で表されるので
p=b+12(a|a|b|b|)=a2|a|+b2|b|=12(a|a|+b|b|)p=b+12(a|a|b|b|)=a2|a|+b2|b|=12(a|a|+b|b|)
実数倍したベクトルも元のベクトルと向きは同じなので係数を11にするために2倍した角の二等分ベクトルPP
P=2p=a|a|+b|b|P=2p=a|a|+b|b|
となります。

2. ひし形の利用

単位ベクトルと角の二等分ベクトル
aaの単位ベクトルの終点にbbの単位ベクトルを移動、あるいはbbの単位ベクトルの終点にaaの単位ベクトルを移動させます。
すると、2つの単位ベクトルの和はひし形の対角線にあたります。ひし形の対角線は2つの単位ベクトルのなす角の二等分線であるので、角の二等分ベクトルPP
P=a|a|+b|b|P=a|a|+b|b|
となります。

 以上から、2つの異なるベクトルa,ba,bの角の二等分ベクトルは
a|a|+b|b|a|a|+b|b|
で求められることがわかりました。

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