2次関数を平方完成すると軸と頂点がわかるのはなぜ？

　2次関数$y=ax^2+bx+c$（$a, b, c:$定数、$a\neq0$）を平方完成すると

\[\large y=a(x-p)^2+q\qquad(p, q:定数)\]

と変形することができ、この式からグラフ（放物線）の軸が直線$x=p$、頂点の座標が$(p, q)$であることがわかります。

これはなぜなのでしょうか？

関連：平方完成するには

2次関数$y=ax^2$の軸と頂点

　まずは2次関数$y=ax^2$から考えてみます。

$y=ax^2$のグラフは上図のようになっており、これらの曲線は放物線となっています。
これらのグラフには、$ax^2$がもつ

• $x=0$のとき、$ax^2=0$
• $x$の絶対値が大きいほど…
  • $a>0$のとき、$ax^2$は大きくなる
  • $a<0$のとき、$ax^2$は小さくなる
• $x$の絶対値が等しいならば$ax^2$の値も等しい

という性質が反映されています。

特に

• $x$の絶対値が等しいならば$ax^2$の値も等しい

という性質より、$y=ax^2$のグラフはy軸（直線$x=0$）に関して線対称な曲線であることがわかります。
この$y=ax^2$のグラフにおけるy軸のように放物線の対称軸となる直線を単に軸といいます。

また、$y=ax^2$のグラフは軸となるy軸と原点で交わります。

この$y=ax^2$のグラフにおける原点のように、放物線と軸の交点のことを頂点といいます。

ちなみに、$y=ax^2$のグラフの頂点となる原点は

• $x=0$のとき、$ax^2=0$
• $x$の絶対値が大きいほど…
  • $a>0$のとき、$ax^2$は大きくなる
  • $a<0$のとき、$ax^2$は小さくなる

という性質からわかるように、すべての実数で定義された$y=ax^2$のグラフにおいてy座標が最小または最大となる点です。

2次関数$y=ax^2+bx+c$の軸と頂点

　2次関数$y=ax^2+bx+c$は平方完成することで$y=a(x-p)^2+q$という形にすることができます。
これのグラフは$y=ax^2$のグラフをx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動したものとなります。

関連：2次関数のグラフの平行移動

このとき、軸はy軸（直線$x=0$）から直線$x=p$へ、頂点は原点（点$(0, 0)$）から点$(p, q)$へ移動します。

したがって、2次関数$y=ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q$のグラフの頂点は$(p, q)$、軸は直線$x=p$であるとわかります。

また、すべての実数で定義された$y=ax^2+bx+c$のグラフにおいても頂点はy座標が最小または最大となる点です。

(2026/2)内容を変更しました。

関連：平方完成するには

関連：2次関数のグラフの平行移動

関連：2次関数とは？（グラフの形、頂点、軸）