平方完成すると頂点の座標がわかるのはなぜ？

　平方完成すると頂点の座標がわかるのはなぜなのでしょうか？

　まず2次関数の頂点とは、2次関数がとりうる値のうち最大値または最小値となる点のことです。
最も簡単な形の2次関数$y=x^2$について考えると実数の2乗は必ず$0$以上になる、すなわち$x=0$のとき$y=0$でこれが最小値となるため頂点の座標は$(0,0)$であることがわかります。

　平方完成した2次関数$y=(x-p)^2+q$について考えます。

$$y-q=(x-p)^2$$

という形に変形し$x-p=s,y-q=t$とおくと

$$t=s^2$$

となります。

これは2次関数$y=x^2$と同じ形であるため、$s=0$のとき$t=0$でこれが最小値となります。

$x$と$y$の式に戻すと

$$\begin{align*}s=0\\ x-p&=0\\[0.5em]x&=p\\[1em]t=0\\ y-q&=0\\[0.5em]y&=q\end{align*}$$

となるので、$s=0$のとき$x=p$、$t=0$のとき$y=q$であることがわかります。

したがって、$y=(x-p)^2+q$の頂点は$(p,q)$であるとわかります。

　このように平方完成すると頂点の座標が2次関数に表れることがわかります。

また、$p,q$は頂点の座標であるだけでなく、それぞれ2次関数$y=x^2$をどれだけx軸方向、y軸方向へ移動させたかの移動量も表しています。

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