最も簡単な形の2次関数$y=x^2$について考えると実数の2乗は必ず$0$以上になる、すなわち$x=0$のとき$y=0$でこれが最小値となるため頂点の座標は$(0,0)$であることがわかります。
平方完成した2次関数$y=(x-p)^2+q$について考えます。
\[y-q=(x-p)^2\]
という形に変形し$x-p=s,y-q=t$とおくと
\[t=s^2\]
となります。
これは2次関数$y=x^2$と同じ形であるため、$s=0$のとき$t=0$でこれが最小値となります。
$x$と$y$の式に戻すと
\begin{align*}s=0\\ x-p&=0\\[0.5em]x&=p\\[1em]t=0\\
y-q&=0\\[0.5em]y&=q\end{align*}
となるので、$s=0$のとき$x=p$、$t=0$のとき$y=q$であることがわかります。
したがって、$y=(x-p)^2+q$の頂点は$(p,q)$であるとわかります。
このように平方完成すると頂点の座標が2次関数に表れることがわかります。
また、$p,q$は頂点の座標であるだけでなく、それぞれ2次関数$y=x^2$をどれだけx軸方向、y軸方向へ移動させたかの移動量も表しています。
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