ヴィヴィアーニの定理 ~ 数学について考えてみる

2022年2月25日

ヴィヴィアーニの定理

PLUMBAGO

　ヴィヴィアーニの定理が成立することを確かめてみます。

　ヴィヴィアーニの定理とは、正三角形の内側の任意の点から各辺に垂線をおろすと3本の垂線の長さの和が点の位置に関わらず一定になるという定理です。

　正三角形

ABC

$\text{ABC}$ の内側の任意の点を

P

$\text{P}$ とし、

P

$\text{P}$ から各辺

AB, BC, CA

$\text{AB, BC, CA}$ に垂線をおろしそれぞれの垂線の長さを

a, b, c

$a, b, c$ とします。また、正三角形

ABC

$\text{ABC}$ の1辺の長さを

l

$l$ とします。

AP, BP, CP

$\text{AP, BP, CP}$ を引き、

△ PAB, △ PBC, △ PCA

$△\text{PAB, }△\text{PBC, }△\text{PCA}$ の面積について考えると

\begin{matrix} △ PAB & = \frac{1}{2} a l △ PBC & = \frac{1}{2} b l △ PCA & = \frac{1}{2} c l \end{matrix}

$\begin{align*}△\text{PAB}&=\frac{1}{2}al\\[1em]△\text{PBC}&=\frac{1}{2}bl\\[1em]△\text{PCA}&=\frac{1}{2}cl\end{align*}$

また、

△ ABC =△ PAB + △ PBC + △ PCA

$△\text{ABC}=△\text{PAB}+△\text{PBC}+△\text{PCA}$

で、正三角形の高さは1辺の長さの

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 倍であるから

△ ABC = \frac{1}{2} \times l \times \frac{\sqrt{3}}{2} l = \frac{\sqrt{3}}{4} l^{2}

$△\text{ABC}=\frac{1}{2}×l×\frac{\sqrt{3}}{2}l=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$

したがって、

\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{4} l^{2} & = \frac{1}{2} a l + \frac{1}{2} b l + \frac{1}{2} c l = \frac{1}{2} l (a + b + c) \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{\sqrt{3}}{4}l^2&=\frac{1}{2}al+\frac{1}{2}bl+\frac{1}{2}cl\\[0.5em]&=\frac{1}{2}l(a+b+c)\end{align*}$

両辺を

\frac{1}{2} l

$\dfrac{1}{2}l$ で割ると

\frac{\sqrt{3}}{2} l = a + b + c

$\frac{\sqrt{3}}{2}l=a+b+c$

となるから、

a + b + c

$a+b+c$ は常に正三角形

ABC

$\text{ABC}$ の高さと等しいことがわかります。

　正三角形以外の三角形だと以下のように成立しないことがわかります。

正三角形を除く任意の

△ ABC

$△\text{ABC}$ の内側の任意の点を

P

$\text{P}$ とし、\text{P}から各辺

AB, BC, CA

$\text{AB, BC, CA}$ に垂線をおろしそれぞれの垂線の長さを

a, b, c

$a, b, c$ とします。

△ ABC

$△\text{ABC}$ と

△ PAB, △ PBC, △ PCA

$△\text{PAB, }△\text{PBC, }△\text{PCA}$ それぞれの面積の関係は

\begin{matrix} △ ABC & =△ PAB + △ PBC + △ PCA = \frac{1}{2} a \cdot AB + \frac{1}{2} b \cdot BC + \frac{1}{2} c \cdot CA \end{matrix}

$\begin{align*}△\text{ABC}&=△\text{PAB}+△\text{PBC}+△\text{PCA}\\[0.5em] &=\frac{1}{2}a\cdot \text{AB}+\frac{1}{2}b\cdot \text{BC}+\frac{1}{2}c\cdot \text{CA}\end{align*}$

両辺を

\frac{1}{2} AB

$\dfrac{1}{2}\text{AB}$ で割ると

\frac{2}{AB} △ ABC = a + \frac{BC}{AB} b + \frac{CA}{AB} c

$\frac{2}{\text{AB}}△\text{ABC}=a+\frac{\text{BC}}{\text{AB}}b+\frac{\text{CA}}{\text{AB}}c$

両辺に

(1 - \frac{BC}{AB}) b + (1 - \frac{CA}{AB}) c

$\left(1-\dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}\right)b+\left(1-\dfrac{\text{CA}}{\text{AB}}\right)c$ を加えると

\frac{2}{AB} △ ABC + (1 - \frac{BC}{AB}) b + (1 - \frac{CA}{AB}) c = a + b + c

$\frac{2}{\text{AB}}△\text{ABC}+\left(1-\frac{\text{BC}}{\text{AB}}\right)b+\left(1-\frac{\text{CA}}{\text{AB}}\right)c=a+b+c$

となります。この式より、点

P

$\text{P}$ の位置が変わると左辺が

b, c

$b, c$ によって変化するため、

a + b + c

$a+b+c$ は一定にはならないことがわかります。これは

BC, CA

$\text{BC, CA}$ の長さで割った場合も同様です。

　この性質は正三角形に限らず正多角形であれば同様の方法で成り立つことを確かめることができます。

また、以下より平行四辺形においても成り立つことがわかります。

平行四辺形

ABCD

$\text{ABCD}$ の内側の任意の点を\text{P}とし、各辺

AB, BC, CD, DA

$\text{AB, BC, CD, DA}$ に垂線をおろしそれぞれの垂線の長さを

a, b, c, d

$a, b, c, d$ とします。また、平行四辺形の各辺の長さは

AB = CD = x, BC = DA = y

$\text{AB}=\text{CD}=x, \text{BC}=\text{DA}=y$ とします。

点

P

$\text{P}$ から各頂点へ

AP, BP, CP, DP

$\text{AP, BP, CP, DP}$ を引くと、平行四辺形

ABCD

$\text{ABCD}$ の面積と

△ PAB, △ PBC, △ PCD, △ PDA

$△\text{PAB, }△\text{PBC, }△\text{PCD, }△\text{PDA}$ の各面積の関係は

\begin{matrix} □ ABCD & =△ PAB + △ PBC + △ PCD + △ PDA = \frac{1}{2} a x + \frac{1}{2} b y + \frac{1}{2} c x + \frac{1}{2} d y = \frac{1}{2} (a + c) x + \frac{1}{2} (b + d) y \end{matrix}

$\begin{align*}□\text{ABCD}&=△\text{PAB}+△\text{PBC}+△\text{PCD}+△\text{PDA}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}by+\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}dy\\[0.5em]&=\frac{1}{2}(a+c)x+\frac{1}{2}(b+d)y\end{align*}$

ここで平行四辺形

ABCD

$\text{ABCD}$ の

AB

$\text{AB}$ または

CD

$\text{CD}$ を底辺とすると

a + c

$a+c$ が高さ、

BC

$\text{BC}$ または

DA

$\text{DA}$ を底辺とすると

b + d

$b+d$ が高さとなるので

□ ABCD = (a + c) x = (b + d) y

$□\text{ABCD}=(a+c)x=(b+d)y$

となるから

\begin{matrix} \frac{1}{2} (a + c) x & = \frac{1}{2} □ ABCD a + c & = \frac{□ ABCD}{x} \frac{1}{2} (b + d) y & = \frac{1}{2} □ ABCD b + d & = \frac{□ ABCD}{y} \\ (1) (2) \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{1}{2}(a+c)x&=\frac{1}{2}□\text{ABCD}\\[0.5em]a+c&=\frac{□\text{ABCD}}{x}\tag1\\[1em]\frac{1}{2}(b+d)y&=\frac{1}{2}□\text{ABCD}\\[0.5em]b+d&=\frac{□\text{ABCD}}{y}\tag2\end{align*}$

したがって、