三角関数の$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の値をどうやって出すのでしょうか？
まずは、直角三角形をもちいて三角比が導き出せるようにします。
こうすることで$\sinθ,\cosθ,\tanθ$との関係がわかりやすくなります。
上図の$△ABC$において斜辺$AB$の長さを$r$、角$θ$の隣接辺$BC$の長さを$x$、角$θ$の対辺$AC$の長さを$y$とします。
すると$\sinθ,\cosθ,\tanθ$はそれぞれ以下のようになります。
すると$\sinθ,\cosθ,\tanθ$はそれぞれ以下のようになります。
\begin{align*}\sinθ&=\frac{y}{r}\\[1em]\cosθ&=\frac{x}{r}\\[1em]\tanθ&=\frac{y}{x}\end{align*}
それぞれある辺の長さを基準とした他の1辺の長さの割合となっています。
$\sinθ$は斜辺を基準にしたときの角$θ$の対辺の割合、$\cosθ$は斜辺を基準にしたときの角$θ$の隣接辺の割合、$\tanθ$は角$θ$の隣接辺を基準にしたときの角$θ$の対辺の割合です。
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すると、$\tanθ$は
\[\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
と表せます。これは$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の相互関係の1つです。
$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の値はどれも直角三角形の2辺の長さの比の値を表したものなので、これらは三角比と呼ばれています。
そして、$θ$の値に応じて三角比を出す$\sinθ,\cosθ,\tanθ$のことを三角関数といいます。
次は代表的な三角比を見ていきます。
$45°-45°-90°$の直角三角形
1つ目は内角が$45°-45°-90°$の直角二等辺三角形の三角比です。
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3辺の比は$1:1:\sqrt{2}$、すなわち$x=1,y=1,r=\sqrt{2}$なので
\begin{align*}\sin45°&=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\[1em]\cos45°&=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\[1em]\tan45°&=\frac{1}{1}=1\end{align*}
この三角比は斜辺以外の2辺の長さが等しいので$\sinθ$と$\cosθ$は等しくなります。また、$\tanθ$は$1$になります。
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$30°-60°-90°$の直角三角形
2つ目は$30°-60°-90°$の直角三角形の三角比です。
この三角形からは$θ=30°$と$θ=60°$のときの三角比がわかります。
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\begin{align*}\sin30°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\[1em]\cos30°&=\frac{1}{2}\\[1em]\tan30°&=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{align*}
となります。
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\begin{align*}\sin60°&=\frac{1}{2}\\[1em]\cos60°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\[1em]\tan60°&=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\end{align*}
直角三角形の向きを変えたので$θ=30°$のときと比較すると$\sinθ$と$\cosθ$の値が入れ替わり、$\tanθ$の値が逆数になっています。
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上の3つの直角三角形が三角比の見取り図なので、$θ=30°,45°,60°$のときの三角比を考えるときはこれらの直角三角形を思い浮かべてみてください。
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