三角関数の\sinθ, \cosθ, \tanθの値をどうやって出すのでしょうか？
まずは、直角三角形をもちいて三角比が導き出せるようにします。
こうすることで\sinθ, \cosθ, \tanθとの関係がわかりやすくなります。
上図の△\text{ABC}において斜辺\text{AB}の長さをr、角θの隣接辺\text{BC}の長さをx、角θの対辺\text{AC}の長さをyとします。
すると\sinθ, \cosθ, \tanθはそれぞれ以下のようになります。
すると\sinθ, \cosθ, \tanθはそれぞれ以下のようになります。
\begin{align*}\sinθ&=\frac{y}{r}\\[1em]\cosθ&=\frac{x}{r}\\[1em]\tanθ&=\frac{y}{x}\end{align*}
それぞれある辺の長さを基準とした他の1辺の長さの割合となっています。
\sinθは斜辺を基準にしたときの角θの対辺の割合、\cosθは斜辺を基準にしたときの角θの隣接辺の割合、\tanθは角θの隣接辺を基準にしたときの角θの対辺の割合です。
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すると、\tanθは
\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
と表せます。これは\sinθ, \cosθ, \tanθの相互関係の1つです。
\sinθ, \cosθ, \tanθの値はどれも直角三角形の2辺の長さの比の値を表したものなので、これらは三角比と呼ばれています。
そして、θの値に応じて三角比を出す\sinθ, \cosθ, \tanθのことを三角関数といいます。
次は代表的な三角比を見ていきます。
45°-45°-90°の直角三角形
1つ目は内角が45°-45°-90°の直角二等辺三角形の三角比です。
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3辺の比は1:1:\sqrt{2}、すなわちx=1, y=1, r=\sqrt{2}なので
\begin{align*}\sin45°&=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\[1em]\cos45°&=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\[1em]\tan45°&=\frac{1}{1}=1\end{align*}
この三角比は斜辺以外の2辺の長さが等しいので\sinθと\cosθは等しくなります。また、\tanθは1になります。
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30°-60°-90°の直角三角形
2つ目は30°-60°-90°の直角三角形の三角比です。
この三角形からはθ=30°とθ=60°のときの三角比がわかります。
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\begin{align*}\sin30°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\[1em]\cos30°&=\frac{1}{2}\\[1em]\tan30°&=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{align*}
となります。
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\begin{align*}\sin60°&=\frac{1}{2}\\[1em]\cos60°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\[1em]\tan60°&=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\end{align*}
直角三角形の向きを変えたのでθ=30°のときと比較すると\sinθと\cosθの値が入れ替わり、\tanθの値が逆数になっています。
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上の3つの直角三角形が三角比の見取り図なので、θ=30°, 45°, 60°のときの三角比を考えるときはこれらの直角三角形を思い浮かべてみてください。
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