横画面推奨!
モバイル機器の場合、数式が見切れる場合があります。

2022年2月10日

平行四辺形の中の図形の面積

数学問題 平行四辺形の中の青い部分の面積は?
図1 平行四辺形ABCD
「図1のように平行四辺形ABCDがある。辺AD2:3に内分する点Eをおき、線分CEを引く。また、CE2:3に内分する点Fをおく。さらに辺ABの中点Mをおく。
平行四辺形の面積をSとしたとき、図1の青い部分、AMFEBCFの面積の和をSをもちいて表わせ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?


 図1の平行四辺形の青い部分の面積を求める問題ですが、平行四辺形ABCDの面積から白い部分、ECDMBFの面積を引くことで求めます。
 ECDの面積を求めます。
△ACDと△ECD
図2 ACDECD
ACを引き、ACDECDを比較するとAD, EDを底辺とすれば高さが同じなので面積比は底辺の長さの比と等しくなります。
AE:ED=2:3よりAD:ED=5:3なので
ACD:△ECD=5:3ECD=35ACD
△\text{ACD}の面積は平行四辺形\text{ABCD}の面積の半分なので
ECD=35×12S=310S

 MBFの面積を求めます。
線分GHを引く
図3 GHを引く
Fを通るADに平行な直線を引き、ABとの交点をGCDとの交点をHとします。
ここでCDECHFに着目するとFCHが共通で平行線の同位角より
CHF=CDECFH=CED
であるから、3組の角が等しいので相似です。
その相似比はCF:FE=2:3よりCE:CF=5:2なので
ED:FH=5:2FH=25ED
前述よりAD:ED=5:3なので
FH=25×35AD=625AD
AD=GHなので
GH:GF=25:19$

これでMBFの辺MBを底辺としたときGH:GFという高さっぽいものの比が求められたので高さとの関連を調べてみます。

△FGJと△HGI
図4 FGJHGI
H, Fからそれぞれ直線ABに対し垂線をおろし、ABとの交点をI, Jとします。すると直線AB上にある辺をを底辺とするとHIの長さは平行四辺形ABCDの高さ、FJの長さはFJGの高さでありMBFの高さでもあります。
HIGFJGについて考えるとIGHは共通で
HIG=FJG=90°IGH-90°=IHG=JFG
であるから、3組の角が等しいので相似です。
その相似比はGH:GF=25:19なので
JF=1925HI
つまり、高さの比とGH:GFは等しいことがわかります。
するとMBFの面積は底辺はABの半分の長さで、高さは平行四辺形ABCD1925またS=AB×HIなので、
MBF=12×12AB×1925HI=19100S
 したがって図1の青い部分、すなわちAMFEBCFの面積の和は
AMFE+BCF=ABCD-ECD-MBF=S310S19100S=S30100S19100S=51100S
となります。

Share:
share
◎Amazonのアソシエイトとして、当サイト「数学について考えてみる」は適格販売により収入を得ています。
Powered by Blogger.

Blog Archive

PR

blogmura_pvcount
ブログランキング・にほんブログ村へ