対数の計算法則

　対数とは、べき乗の指数に着目した数のことです。

$a^b=M$となるとき、指数$b$は$a$と$M$をもちいて$\log_a M$と表すことができます。この$\log_a M$が対数です。

また、$a^b=M$から$b=\log_a M$へ変形することを対数をとるといいます。

対数の$a$を底、$M$を真数と呼びます。

底が$a>0$のとき真数は$a^b=M>0$となります。これを真数条件と呼びます。

べき乗と対数の関係を掛け算で例えると$a×b=M$となるときの因数$b$を求める計算$M÷a$に相当しますが、対数は数の一種であるので割り算より分数$\dfrac{M}{a}$のほうがより適切でしょう。

こういった関係であるので、

$$a×\frac{M}{a}=M$$

と書けるように

$$a^{\log_a M}=M$$

と書くことができます。

　対数の計算法則には

$$\begin{align*}\log_a M+\log_a N&=\log_a MN \tag{a}\\[1em]\log_a M-\log_a N&=\log_a \frac{M}{N}\tag{b}\\[1em]p\log_a M&=\log_a M^p\tag{c}\\[1em]\log_a M&=\frac{\log_n M}{\log_n a}\tag{d}\end{align*}$$

があり、これらがなぜ成り立つのかについて考えます。

(a)対数の和

　$a^b×a^c$は指数の計算法則より$a^{b+c}$となります。

また$a^b=M,a^c=N$とおけば$a^{b+c}=MN$となり、それぞれ対数をとれば$b=\log_a M,c=\log_a N,b+c=\log_a MN$と書けるので

$$\log_a M+\log_a N=\log_a MN$$

が成り立ちます。

(b)対数の差

　$\dfrac{a^b}{a^c}$は指数の計算法則より$a^{b-c}$となります。

また$a^b=M,a^c=N$とおけば$a^{b-c}=\dfrac{M}{N}$となり、それぞれ対数をとれば$b=\log_a M,c=\log_a N,b-c=\log_a \dfrac{M}{N}$と書けるので

$$\log_a M-\log_a N=\log_a \frac{M}{N}$$

が成り立ちます。

(c)対数の実数倍

　$(a^b)^p$は指数の計算法則より$a^{pb}$となります。

$a^b=M$とおけば$(a^b)^p=a^{bp}=M^p$となり、それぞれ対数をとれば$b=\log_a M,bp=\log_a M^p$と書けるので

$$p\log_a M=\log_a M^p$$

が成り立ちます。

また、$a^b=M,a=n^c$であるとすると$a^b=\left(n^c\right)^b=n^{bc}=M$より、$\log_{n^c}M=b,\log_n M=bc$であるから
$$\log_{n^c}M=\frac{1}{c}\log_n M$$
が成り立ちます。

(d)対数の商

　$a^b=M,a^c=N$という同じ底のべき乗を考えます。

$a^c=N$は両辺を$1/c$乗すると$a=N^\dfrac{1}{c}\ \cdots(*)$となります。

$a^b=M$に$(*)$を代入すると

$$\left(N^\frac{1}{c}\right)^b=N^\frac{b}{c}=M$$

真ん中の辺と右辺の対数をとると

$$\frac{b}{c}=\log_N M$$

$a^b=M$と$(*)$の両辺の対数をとるとそれぞれ$b=\log_a M,\dfrac{1}{c}=\log_N a$となるので

$$\begin{align*}b\cdot\frac{1}{c}=\log_a M\cdot\log_N a&=\log_N M\\[0.5em]\log_a M&=\frac{\log_N M}{\log_N a}\end{align*}$$

が成り立ちます。これを底の変換公式といいます。

また、これを利用して

$$\begin{align*}\log_a{b}&=\frac{\log_b{b}}{\log_b{a}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\log_b{a}}\end{align*}$$

という関係が成り立ちます。

関連：指数の計算法則