7.5° (=π24)のときの三角関数がどんな式で表されるのかを調べてみました。
sin7.5°
sinの加法定理より
sin7.5°=sin(22.5°−15°)=sin22.5°cos15°−cos22.5°sin15°
「
sin15°,cos15°,tan15°はどんな数?」、「
sin22.5°,cos22.5°,tan22.5°はどんな数?」より
sin15°=√6−√24cos15°=√6+√24sin22.5°=√2−√22cos22.5°=√2+√22
なので
sin7.5°=√2−√22⋅√6+√24−√2+√22⋅√6−√24=√2{(√3+1)√2−√2−(√3−1)√2+√2}8(a)
ここで
tan22.5°=√2−√2√2+√2=√2−1
より
√2−√2=(√2−1)√2+√2
なので
sin7.5°=√2{(√3+1)(√2−1)√2+√2−(√3−1)√2+√2}8=(1+√3−√6)√2+√24=√(1+√3−√6)2(2+√2)4=√8−2√2−2√64−−−−−−−−−−−−−−−−
cos7.5°
cosの加法定理より
cos7.5°=cos(22.5°−15°)=cos22.5°cos15°+sin22.5°sin15°=√2+√22⋅√6+√24+2−√22⋅√6−√24=√2{(√3+1)√2+√2+(√3−1)√2−√2}8=√2{(√3+1)√2+√2+(√3−1)(√2−1)√2+√2}8=(√3+√2−1)√2+√24=√(√3+√2−1)2(2+√2)4=√8+2√2+2√64−−−−−−−−−−−−−−−−(b)
tan7.5°
三角関数の相互関係
tanθ=sinθcosθ
に
(a),(b)を代入して
tan7.5°=sin7.5°cos7.5°=√2{(√3+1)√2−√2−(√3−1)√2+√2}8√2{(√3+1)√2+√2+(√3−1)√2−√2}8=(√3+1)√2−√2−(√3−1)√2+√2(√3+1)√2+√2+(√3−1)√2−√2⋅(√3+1)√2+√2−(√3−1)√2−√2(√3+1)√2+√2−(√3−1)√2−√2=√2−1√3+√2×√3−√2√3−√2=√6+√2−√3−2−−−−−−−−−−−−−−−−
それぞれの近似値は以下のようになります。
sin7.5°=0.13053cos7.5°=0.99144tan7.5°=0.13165