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2022年2月5日

sin7.5°、cos7.5°、tan7.5°はどんな数?

sin7.5°、cos7.5°、tan7.5°

 7.5° (=π24)のときの三角関数がどんな式で表されるのかを調べてみました。

sin7.5°

 sinの加法定理より
sin7.5°=sin(22.5°15°)=sin22.5°cos15°cos22.5°sin15°
sin15°,cos15°,tan15°はどんな数?」、「sin22.5°,cos22.5°,tan22.5°はどんな数?」より
sin15°=624cos15°=6+24sin22.5°=222cos22.5°=2+22
なので
sin7.5°=2226+242+22624(a)=2{(3+1)22(31)2+2}8
ここで
tan22.5°=222+2=21
より
22=(21)2+2
なので
sin7.5°=2{(3+1)(21)2+2(31)2+2}8=(1+36)2+24=(1+36)2(2+2)4=822264_

cos7.5°

 cosの加法定理より
cos7.5°=cos(22.5°15°)=cos22.5°cos15°+sin22.5°sin15°=2+226+24+222624(b)=2{(3+1)2+2+(31)22}8=2{(3+1)2+2+(31)(21)2+2}8=(3+21)2+24=(3+21)2(2+2)4=8+22+264_

tan7.5°

 三角関数の相互関係
tanθ=sinθcosθ
(a),(b)を代入して
tan7.5°=sin7.5°cos7.5°=2{(3+1)22(31)2+2}82{(3+1)2+2+(31)22}8=(3+1)22(31)2+2(3+1)2+2+(31)22(3+1)2+2(31)22(3+1)2+2(31)22=213+2×3232=6+232_

 それぞれの近似値は以下のようになります。
sin7.5°=0.13053cos7.5°=0.99144tan7.5°=0.13165

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