15°\ (＝\dfrac{\pi}{12})のときの三角関数がどんな式で表されるのかを求めてみました。
\sin15°
\sinの加法定理より
\begin{align*}\sin15°&=\sin(45°-30°)\\[0.5em]&=\sin45°\cos30°-\cos45°\sin30°\end{align*}
ここで
\begin{align}\sin45°&=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\\[1em]\sin30°&=\frac{1}{2}\\[0.5em]\cos30°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}
であるから、
\begin{align*}\sin15°&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\end{align*}
\cos15°
\cosの加法定理より
\begin{align*}\cos15°&=\cos(45°-30°)\\[0.5em]&=\cos45°\cos30°+\sin45°\sin30°\end{align*}
(1),(2),(3)より
\begin{align*}\cos15°&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\end{align*}
\tan15°
三角関数の相互関係
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
より
\begin{align*}\tan15°&=\frac{\sin15°}{\cos15°}\\[0.5em]&=\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{8-4\sqrt{3}}{4}\\[0.5em]&=\underline{2-\sqrt{3}}\end{align*}
それぞれの近似値は以下のようになります。
\begin{align*}\sin15°&=0.25882\\[1em]\cos15°&=0.96593\\[1em]\tan15°&=0.26795\end{align*}
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