三角関数の加法定理 ~ 数学について考えてみる

　三角関数の加法定理とは、任意の角

α, β

$α,β$ について

\begin{matrix} sin (α + β) & = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) & = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) & = cos α cos β - sin α sin β cos (α - β) & = cos α cos β + sin α sin β tan (α + β) & = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β} tan (α - β) & = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} \\ (1) (2) (3) (4) (5) (6) \end{matrix}

$\begin{align}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\[1em]\tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{align}$

が成り立つという定理です。

これらはなぜ成り立つのでしょうか？

$\cos$ の加法定理

　単位円による三角関数の定義は、原点を中心とする半径

1

$1$ の円（単位円）においてx軸の正の部分（始線）と反時計回りに

θ

$θ$ の角をなす半径の円周上の端点の座標を

(cos θ, sin θ)

$(\cosθ,\sinθ)$ とする、というものでした。この定義をもとに加法定理を導き出します。

始線とそれぞれ

α, β

$α,β$ の角をなす単位円の半径を考えると、この2本の半径の間の角は

α - β

$α-β$ で表すことができます。

α - β

$α-β$ というのは、

α, β

$α,β$ が始線を基準として測った角であるように、始線と

β

$β$ の角をなす半径を基準として測った角となります。

それぞれの半径の円周上の端点の座標は

(cos α, sin α), (cos β, sin β)

$(\cosα,\sinα),(\cosβ,\sinβ)$ なので、この2点間の距離の2乗は

$\begin{align*}&(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\[0.5em]=&\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta\\ &\quad+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta\\[0.5em]=&(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+(\cos^2\beta+\sin^2\beta)\\ &\quad-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\[0.5em]=&1+1-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)&(\because\sin^2\theta+\cos^2\theta=1)\\[0.5em]=&2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\tag{a}\end{align*}$

となります。これは任意の

$α,β$ で成り立ちます。

　また、単位円による三角関数の定義より始線と

$α-β$ の角をなす半径の円周上の端点の座標は

$\bigl(\cos(α-β),\sin(α-β)\bigr)$ となります。

この点と始線と単位円の交点

$(1,0)$ の距離の2乗を考えると

$\begin{align*}&\bigl\{1-\cos(\alpha-\beta)\bigr\}^2+\bigl\{0-\sin(\alpha-\beta)\bigr\}^2\\[0.5em]=&1-2\cos(\alpha-\beta)\\ &\quad+\cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)\\[0.5em]=&1-2\cos(\alpha-\beta)+1&(\because\sin^2\theta+\cos^2\theta=1)\\[0.5em]=&2-2\cos(\alpha-\beta)\tag{b}\end{align*}$

となります。

　単位円の等しい中心角に対する弦の長さは等しい、ゆえに弦の長さの2乗も等しいので

$\text{(a)}=\text{(b)}$ より

$\begin{align*}2-2\cos(\alpha-\beta)&=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\[0.5em]\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\end{align*}$

となり、

$(4)$ が得られます。

$(4)$ の

$β$ を

$-β$ に置き換えると

$\begin{align*}\cos\bigl\{\alpha-(-\beta)\bigr\}&=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)\\[0.5em]\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)\end{align*}$

三角関数の性質

$\sin(-θ)=-\sinθ,\cos(-θ)=\cosθ$ より

$\begin{align*}\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha(-\sin\beta)\\[0.5em]&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\end{align*}$

となり、

$(3)$ を得ます。

$\sin$ の加法定理

$\sin(α+β)$ は三角関数の性質

$\sinθ=\cos(90°-θ)$ より

$\begin{align*}\sin(\alpha+\beta)&=\cos\bigl\{90°-(\alpha+\beta)\bigr\}\\[0.5em]&=\cos(90°-\alpha-\beta)\\[0.5em]&=\cos\bigl\{(90°-\alpha)-\beta\bigr\}\end{align*}$

と表せます。これは

$(4)$ の左辺の

$α$ を

$90°-α$ に置き換えたものです。

したがって、

$\begin{align*}\cos\bigl\{(90°-\alpha)-\beta\bigr\}&=\cos(90°-\alpha)\cos\beta+\sin(90°-\alpha)\sin\beta\\[0.5em]\sin(\alpha+\beta)&=\cos(90°-\alpha)\cos\beta+\sin(90°-\alpha)\sin\beta\end{align*}$

が成り立ちます。

これは、三角関数の性質

$\sin(90°-θ)=\cosθ,$

$\cos(90°-θ)=\sinθ$ より

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

と書け、

$(1)$ を得ます。

　同様に

$\sin(α-β)$ は三角関数の性質

$\sinθ=\cos(90°-θ)$ より

$\begin{align*}\sin(\alpha-\beta)&=\cos\bigl\{90°-(\alpha-\beta)\bigr\}\\[0.5em]&=\cos(90°-\alpha+\beta)\\[0.5em]&=\cos\bigl\{(90°-\alpha)+\beta\bigr\}\end{align*}$

と表せます。これは

$(3)$ の左辺の

$α$ を

$90°-α$ に置き換えたものです。

したがって、

$\begin{align*}\cos\bigl\{(90°-\alpha)+\beta\bigr\}&=\cos(90°-\alpha)\cos\beta-\sin(90°-\alpha)\sin\beta\\[0.5em]\sin(\alpha-\beta)&=\cos(90°-\alpha)\cos\beta-\sin(90°-\alpha)\sin\beta\end{align*}$

が成り立ちます。

これは、三角関数の性質

$\sin(90°-θ)=\cosθ,$

$\cos(90°-θ)=\sinθ$ より

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

と書け、

$(2)$ を得ます。

$\tan$ の加法定理

$(5),(6)$ は

$(1)~(4)$ を利用して導きます。

$\tan(α+β)$ は三角関数の相互関係

$\tanθ=\dfrac{\sinθ}{\cosθ}$ より

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}$

と表せます。

$(1),(3)$ より

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$

分母と分子を

$\cosα\cosβ$ で割ると

$\begin{align*}\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\cfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\cfrac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\cfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\cfrac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\cfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\cfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1-\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}\\[0.5em]&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\end{align*}$

となり、

$(5)$ を得ます。

　同様に

$\tan(α-β)$ は三角関数の相互関係

$\tanθ=\dfrac{\sinθ}{\cosθ}$ より

$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}$

と表せます。

$(2),(4)$ より

$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}$

分母と分子を

$\cosα\cosβ$ で割ると

$\begin{align*}\tan(\alpha-\beta)&=\frac{\cfrac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\cfrac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-\cfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\cfrac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\cfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\cfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1+\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}\\[0.5em]&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{align*}$

となり、

$(5)$ を得ます。