角度が-θ,90°±θ,180°±θ,270°±θそれぞれのときの三角関数は角度θのときの三角関数とどんな関係にあるのかを調べてみます。
単位円による三角関数の定義
まずは三角関数\sinθ,\cosθ,\tanθが単位円上でどのように定義されているのかを見ていきます。
単位円とは半径が1の円のことで、特に三角関数においては座標平面上の原点を中心とする半径1の円のことを指します。
単位円の半径のうちx軸の正の部分から反時計回りを正の方向としてθの角をなしているものの単位円周上の点のx座標が\cosθ、y座標が\sinθとなります。
\tanθはこの半径の延長と単位円上の点(1,0)で接する直線x=1との交点のy座標となります。
上でx軸の正の部分となる半直線を始線、始線とある角をなす半径を動径といいます。
単位円の半径のうちx軸の正の部分から反時計回りを正の方向としてθの角をなしているものの単位円周上の点のx座標が\cosθ、y座標が\sinθとなります。
\tanθはこの半径の延長と単位円上の点(1,0)で接する直線x=1との交点のy座標となります。
上でx軸の正の部分となる半直線を始線、始線とある角をなす半径を動径といいます。
なす角をθとして0°≦θ<360°の範囲で考えたときθ=0°の動径は始線、θ=90°の動径はy軸の正の部分、θ=180°の動径はx軸の負の部分、θ=270°の動径はy軸の負の部分と重なります。
-θのときの三角関数
θの動径は始線から反時計回りにθだけ回転した半径ですが、-θの動径は始線から時計回りにθだけ回転した半径となります。
すなわち、-θの動径とθの動径は互いにx軸に関して対称な位置関係にあります。
θの動径をx軸に関して対称移動して-θの動径になると、動径である線分上の各点の座標はx座標は変化しませんが、y座標の正負が反転します。
すなわち、-θの動径とθの動径は互いにx軸に関して対称な位置関係にあります。
θの動径をx軸に関して対称移動して-θの動径になると、動径である線分上の各点の座標はx座標は変化しませんが、y座標の正負が反転します。
したがって、-θのときの三角関数はθのときの三角関数で表すと以下のようになります。
\begin{align*}\sin(-\theta)&=-\sin\theta\\[0.5em]\cos(-\theta)&=\cos\theta\\[0.5em]\tan(-\theta)&=-\tan\theta\end{align*}
90°±θのときの三角関数
90°-θのときの三角関数
90°-θの動径はy軸の正の部分から時計回りにθだけ回転した半径であるといえます。
y軸の正の部分とx軸の正の部分(始線)は互いに直線y=xに関して対称な位置関係にあるので、90°-θの動径とθの動径も互いに直線y=xに関して対称な位置関係にあります。
θの動径を直線y=xに関して対称移動して90°-θの動径になると、動径である線分上の各点の座標はx座標とy座標が入れ替わります。
y軸の正の部分とx軸の正の部分(始線)は互いに直線y=xに関して対称な位置関係にあるので、90°-θの動径とθの動径も互いに直線y=xに関して対称な位置関係にあります。
θの動径を直線y=xに関して対称移動して90°-θの動径になると、動径である線分上の各点の座標はx座標とy座標が入れ替わります。
したがって、\sin(90°-θ),\cos(90°-θ)は以下のようになります。
\begin{align*}\sin(90°-\theta)&=\cos\theta\\[0.5em]\cos(90°-\theta)&=\sin\theta\end{align*}
\tan(90°-θ)については三角関数の相互関係を利用します。
三角関数の相互関係\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}より
三角関数の相互関係\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}より
\begin{align*}\tan(90°-\theta)&=\frac{\sin(90°-\theta)}{\cos(90°-\theta)}\\[0.5em]&=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\\[0.5em]&=\frac{1}{\tan\theta}\end{align*}
となります。
90°+θのときの三角関数
90°+θの動径はy軸の正の部分から反時計回りにθだけ回転した半径であるといえるので、90°+θの動径と90°-θの動径は互いにy軸に関して対称な位置関係にあります。
90°-θの動径をy軸に関して対称移動して90°+θの動径になると、動径である線分上の各点の座標はy座標は変化しませんが、x座標の正負が反転します。
90°-θの動径をy軸に関して対称移動して90°+θの動径になると、動径である線分上の各点の座標はy座標は変化しませんが、x座標の正負が反転します。
したがって、90°+θのときの三角関数はθのときの三角関数で表すと以下のようになります。
\begin{align*}\sin(90°+\theta)&=\sin(90°-\theta)\\[0.5em]&=\cos\theta\\[1em]\cos(90°+\theta)&=-\cos(90°-\theta)\\[0.5em]&=-\sin\theta\\[1em]\tan(90°+\theta)&=\frac{\sin(90°+\theta)}{\cos(90°+\theta)}\\[0.5em]&=\frac{\cos\theta}{-\sin\theta}\\[0.5em]&=-\frac{1}{\tan\theta}\end{align*}
180°±θのときの三角関数
180°-θのときの三角関数
180°-θの動径はx軸の負の部分から時計回りにθだけ回転した半径であるといえます。
x軸の負の部分とx軸の正の部分(始線)は互いにy軸に関して対称な位置関係にあるので、180°-θの動径とθの動径も互いにy軸に関して対称な位置関係にあります。
θの動径をy軸に関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はy座標は変化しませんが、x座標の正負が反転します。
x軸の負の部分とx軸の正の部分(始線)は互いにy軸に関して対称な位置関係にあるので、180°-θの動径とθの動径も互いにy軸に関して対称な位置関係にあります。
θの動径をy軸に関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はy座標は変化しませんが、x座標の正負が反転します。
したがって、180°-θのときの三角関数はθのときの三角関数で表すと以下のようになります。
\begin{align*}\sin(180°-\theta)&=\sin\theta\\[0.5em]\cos(180°-\theta)&=-\cos\theta\\[1em]\tan(180°-\theta)&=\frac{\sin(180°-\theta)}{\cos(180°-\theta)}\\[0.5em]&=\frac{\sin\theta}{-\cos\theta}\\[0.5em]&=-\tan\theta\end{align*}
180°+θのときの三角関数
180°+θの動径はx軸の負の部分から反時計回りにθだけ回転した半径であるといえるので、180°+θの動径と180°-θの動径は互いにx軸に関して対称な位置関係にあります。
180°-θの動径をx軸に関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はx座標は変化しませんが、y座標の正負が反転します。
180°-θの動径をx軸に関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はx座標は変化しませんが、y座標の正負が反転します。
したがって、180°+θのときの三角関数はθのときの三角関数で表すと以下のようになります。
\begin{align*}\sin(180°+\theta)&=-\sin(180°-\theta)\\[0.5em]&=-\sin\theta\\[1em]\cos(180°+\theta)&=\cos(180°-\theta)\\[0.5em]&=-\cos\theta\\[1em]\tan(180°+\theta)&=-\tan(180°-\theta)\\[0.5em]&=\tan\theta\end{align*}
270°±θのときの三角関数
270°-θのときの三角関数
270°-θの動径はy軸の負の部分から時計回りにθだけ回転した半径であるといえます。
y軸の負の部分とx軸の正の部分(始線)は互いに直線y=-xに関して対称な位置関係にあるので、270°-θの動径はθの動径も互いに直線y=-xに関して対称な位置関係にあります。
θの動径を直線y=-xに関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はx座標とy座標が入れ替わり、かつ正負が反転します。
y軸の負の部分とx軸の正の部分(始線)は互いに直線y=-xに関して対称な位置関係にあるので、270°-θの動径はθの動径も互いに直線y=-xに関して対称な位置関係にあります。
θの動径を直線y=-xに関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はx座標とy座標が入れ替わり、かつ正負が反転します。
したがって、270°-θのときの三角関数はθのときの三角関数で表すと以下のようになります。
\begin{align*}\sin(270°-\theta)&=-\cos\theta\\[0.5em]\cos(270°-\theta)&=-\sin\theta\\[0.5em]\tan(270°-\theta)&=\frac{\sin(270°-\theta)}{\cos(270°-\theta)}\\[0.5em]&=\frac{-\cos\theta}{-\sin\theta}\\[0.5em]&=\frac{1}{\tan\theta}\end{align*}
270°+θのときの三角関数
270°+θの動径はy軸の負の部分から反時計回りにθだけ回転した半径であるといえます。
270°+θの動径は-θの動径と互いに直線y=-xに関して対称な位置関係にあります。
-θの動径を直線y=-xに関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はx座標とy座標が入れ替わり、かつ正負が反転します。
270°+θの動径は-θの動径と互いに直線y=-xに関して対称な位置関係にあります。
-θの動径を直線y=-xに関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はx座標とy座標が入れ替わり、かつ正負が反転します。
したがって、270°+θのときの三角関数はθのときの三角関数で表すと以下のようになります。
\begin{align*}\sin(270°+\theta)&=-\cos(-\theta)\\[0.5em]&=-\cos\theta\\[1em]\cos(270°+\theta)&=-\sin(-\theta)\\[0.5em]&=\sin\theta\\[1em]\tan(270°+\theta)&=\frac{\sin(270°+\theta)}{\cos(270°+\theta)}\\[0.5em]&=\frac{-\cos\theta}{\sin\theta}\\[0.5em]&=-\frac{1}{\tan\theta}\end{align*}
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