角度が−θ,90°±θ,180°±θ,270°±θ−θ,90°±θ,180°±θ,270°±θそれぞれのときの三角関数は角度θθのときの三角関数とどんな関係にあるのかを調べてみます。
単位円による三角関数の定義
まずは三角関数sinθ,cosθ,tanθsinθ,cosθ,tanθが単位円上でどのように定義されているのかを見ていきます。
単位円とは半径が11の円のことで、特に三角関数においては座標平面上の原点を中心とする半径11の円のことを指します。
単位円の半径のうちx軸の正の部分から反時計回りを正の方向としてθθの角をなしているものの単位円周上の点のx座標がcosθcosθ、y座標がsinθsinθとなります。
tanθtanθはこの半径の延長と単位円上の点(1,0)(1,0)で接する直線x=1との交点のy座標となります。
上でx軸の正の部分となる半直線を始線、始線とある角をなす半径を動径といいます。
単位円の半径のうちx軸の正の部分から反時計回りを正の方向としてθθの角をなしているものの単位円周上の点のx座標がcosθcosθ、y座標がsinθsinθとなります。
tanθtanθはこの半径の延長と単位円上の点(1,0)(1,0)で接する直線x=1との交点のy座標となります。
上でx軸の正の部分となる半直線を始線、始線とある角をなす半径を動径といいます。
なす角をθとして0°≦θ<360°の範囲で考えたときθ=0°の動径は始線、θ=90°の動径はy軸の正の部分、θ=180°の動径はx軸の負の部分、θ=270°の動径はy軸の負の部分と重なります。
−θのときの三角関数
θの動径は始線から反時計回りにθだけ回転した半径ですが、−θの動径は始線から時計回りにθだけ回転した半径となります。
すなわち、−θの動径とθの動径は互いにx軸に関して対称な位置関係にあります。
θの動径をx軸に関して対称移動して−θの動径になると、動径である線分上の各点の座標はx座標は変化しませんが、y座標の正負が反転します。
すなわち、−θの動径とθの動径は互いにx軸に関して対称な位置関係にあります。
θの動径をx軸に関して対称移動して−θの動径になると、動径である線分上の各点の座標はx座標は変化しませんが、y座標の正負が反転します。
したがって、−θのときの三角関数はθのときの三角関数で表すと以下のようになります。
sin(−θ)=−sinθcos(−θ)=cosθtan(−θ)=−tanθ
90°±θのときの三角関数
90°−θのときの三角関数
90°−θの動径はy軸の正の部分から時計回りにθだけ回転した半径であるといえます。
y軸の正の部分とx軸の正の部分(始線)は互いに直線y=xに関して対称な位置関係にあるので、90°−θの動径とθの動径も互いに直線y=xに関して対称な位置関係にあります。
θの動径を直線y=xに関して対称移動して90°−θの動径になると、動径である線分上の各点の座標はx座標とy座標が入れ替わります。
y軸の正の部分とx軸の正の部分(始線)は互いに直線y=xに関して対称な位置関係にあるので、90°−θの動径とθの動径も互いに直線y=xに関して対称な位置関係にあります。
θの動径を直線y=xに関して対称移動して90°−θの動径になると、動径である線分上の各点の座標はx座標とy座標が入れ替わります。
したがって、sin(90°−θ),cos(90°−θ)は以下のようになります。
sin(90°−θ)=cosθcos(90°−θ)=sinθ
tan(90°−θ)については三角関数の相互関係を利用します。
三角関数の相互関係tanx=sinxcosxより
三角関数の相互関係tanx=sinxcosxより
tan(90°−θ)=sin(90°−θ)cos(90°−θ)=cosθsinθ=1tanθ
となります。
90°+θのときの三角関数
90°+θの動径はy軸の正の部分から反時計回りにθだけ回転した半径であるといえるので、90°+θの動径と90°−θの動径は互いにy軸に関して対称な位置関係にあります。
90°−θの動径をy軸に関して対称移動して90°+θの動径になると、動径である線分上の各点の座標はy座標は変化しませんが、x座標の正負が反転します。
90°−θの動径をy軸に関して対称移動して90°+θの動径になると、動径である線分上の各点の座標はy座標は変化しませんが、x座標の正負が反転します。
したがって、90°+θのときの三角関数はθのときの三角関数で表すと以下のようになります。
sin(90°+θ)=sin(90°−θ)=cosθcos(90°+θ)=−cos(90°−θ)=−sinθtan(90°+θ)=sin(90°+θ)cos(90°+θ)=cosθ−sinθ=−1tanθ
180°±θのときの三角関数
180°−θのときの三角関数
180°−θの動径はx軸の負の部分から時計回りにθだけ回転した半径であるといえます。
x軸の負の部分とx軸の正の部分(始線)は互いにy軸に関して対称な位置関係にあるので、180°−θの動径とθの動径も互いにy軸に関して対称な位置関係にあります。
θの動径をy軸に関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はy座標は変化しませんが、x座標の正負が反転します。
x軸の負の部分とx軸の正の部分(始線)は互いにy軸に関して対称な位置関係にあるので、180°−θの動径とθの動径も互いにy軸に関して対称な位置関係にあります。
θの動径をy軸に関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はy座標は変化しませんが、x座標の正負が反転します。
したがって、180°−θのときの三角関数はθのときの三角関数で表すと以下のようになります。
sin(180°−θ)=sinθcos(180°−θ)=−cosθtan(180°−θ)=sin(180°−θ)cos(180°−θ)=sinθ−cosθ=−tanθ
180°+θのときの三角関数
180°+θの動径はx軸の負の部分から反時計回りにθだけ回転した半径であるといえるので、180°+θの動径と180°−θの動径は互いにx軸に関して対称な位置関係にあります。
180°−θの動径をx軸に関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はx座標は変化しませんが、y座標の正負が反転します。
180°−θの動径をx軸に関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はx座標は変化しませんが、y座標の正負が反転します。
したがって、180°+θのときの三角関数はθのときの三角関数で表すと以下のようになります。
sin(180°+θ)=−sin(180°−θ)=−sinθcos(180°+θ)=cos(180°−θ)=−cosθtan(180°+θ)=−tan(180°−θ)=tanθ
270°±θのときの三角関数
270°−θのときの三角関数
270°−θの動径はy軸の負の部分から時計回りにθだけ回転した半径であるといえます。
y軸の負の部分とx軸の正の部分(始線)は互いに直線y=−xに関して対称な位置関係にあるので、270°−θの動径はθの動径も互いに直線y=−xに関して対称な位置関係にあります。
θの動径を直線y=−xに関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はx座標とy座標が入れ替わり、かつ正負が反転します。
y軸の負の部分とx軸の正の部分(始線)は互いに直線y=−xに関して対称な位置関係にあるので、270°−θの動径はθの動径も互いに直線y=−xに関して対称な位置関係にあります。
θの動径を直線y=−xに関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はx座標とy座標が入れ替わり、かつ正負が反転します。
したがって、270°−θのときの三角関数はθのときの三角関数で表すと以下のようになります。
sin(270°−θ)=−cosθcos(270°−θ)=−sinθtan(270°−θ)=sin(270°−θ)cos(270°−θ)=−cosθ−sinθ=1tanθ
270°+θのときの三角関数
270°+θの動径はy軸の負の部分から反時計回りにθだけ回転した半径であるといえます。
270°+θの動径は−θの動径と互いに直線y=−xに関して対称な位置関係にあります。
−θの動径を直線y=−xに関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はx座標とy座標が入れ替わり、かつ正負が反転します。
270°+θの動径は−θの動径と互いに直線y=−xに関して対称な位置関係にあります。
−θの動径を直線y=−xに関して対称移動すると、動径である線分上の各点の座標はx座標とy座標が入れ替わり、かつ正負が反転します。
したがって、270°+θのときの三角関数はθのときの三角関数で表すと以下のようになります。
sin(270°+θ)=−cos(−θ)=−cosθcos(270°+θ)=−sin(−θ)=sinθtan(270°+θ)=sin(270°+θ)cos(270°+θ)=−cosθsinθ=−1tanθ
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