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2023年7月13日

約分可能な有理関数のグラフは?

「次の関数のグラフの概形を描け。

(1)y=x2xy=x2x

(2)y=(2x+3)(x+1)(x2)x+1y=(2x+3)(x+1)(x2)x+1

(3)y=x3+4x211x30x23x10y=x3+4x211x30x23x10


(1)y=x2xy=x2x

 右辺を約分すると
x2x=xx2x=x(*)
となります。
だから、y=xy=xのグラフを描けば正解……ではありません。

y=xy=xのグラフとほぼ同じなのですが、唯一違う箇所が存在します。
それはx=0x=0における点が存在しないことです。これは関数の定義域は元々の式の形によることと分数の分母は00になると値が定義できないことが理由となります。
x2xx2xは分母が00になるx=0x=0のときの値が定義できません。なので、y=x2xy=x2xの定義域はx=0x=0を除くすべての実数となります。これは約分後のy=xy=xの定義域としても引き継がれています。
()()も任意のxxで成り立つものではなく、明記されていないものの分母が00になるx=0x=0以外で成り立つという条件がついています。

y=xy=xにおいてx=0x=0における点とは(0,0)(0,0)すなわち原点のことです。
したがって、y=x2xy=x2xのグラフはy=xy=xのグラフから原点を除いた以下のようなものとなります。
y=x^2/xのグラフ

(2)y=(2x+3)(x+1)(x2)x+1y=(2x+3)(x+1)(x2)x+1

 分母が00になる条件はx+1=0x+1=0、すなわちx=1x=1です。このxxにおける点は存在しません。
右辺を約分すると
(2x+3)(x+1)(x2)x+1=(2x+3)(x2)(2x+3)(x+1)(x2)x+1=(2x+3)(x2)
となります。
y=(2x+3)(x2)y=(2x+3)(x2)においてx=1x=1のときy=3y=3なので、y=(2x+3)(x+1)(x2)x+1y=(2x+3)(x+1)(x2)x+1のグラフには点(1,3)(1,3)が存在しません。

y=(2x+3)(x2)y=(2x+3)(x2)y=0y=0となるとき、x=32,2x=32,2なので、(32,0),(2,0)(32,0),(2,0)がx軸との共有点となります。
また、x=0x=0のときy=6y=6なので、(0,6)(0,6)がy軸との共有点となります。

右辺を展開して平方完成すると
(2x+3)(x2)=2x2x6=2(x14)2498(2x+3)(x2)=2x2x6=2(x14)2498
となるので、頂点の座標は(14,498)(14,498)であるとわかります。
したがって、y=(2x+3)(x+1)(x2)x+1y=(2x+3)(x+1)(x2)x+1のグラフは以下のようになります。
y=(2x+3)(x+1)(x-2)/(x+1)のグラフ

(3)y=x3+4x211x30x23x10y=x3+4x211x30x23x10

 分母と分子をそれぞれ因数分解すると
x3+4x211x30=(x+5)(x+2)(x3)x23x10=(x+2)(x5)x3+4x211x30=(x+5)(x+2)(x3)x23x10=(x+2)(x5)
となるので、分母が00になる条件(x+2)(x5)=0(x+2)(x5)=0すなわちx=2,5x=2,5における点は存在しません。
右辺を約分すると
(x+5)(x+2)(x3)(x+2)(x5)=(x+5)(x3)x5(x+5)(x+2)(x3)(x+2)(x5)=(x+5)(x3)x5
となります。
y=(x+5)(x3)x5y=(x+5)(x3)x5においてx=2x=2のときy=157y=157なので、y=x3+4x211x30x23x10y=x3+4x211x30x23x10のグラフには点(2,157)(2,157)が存在しません。x=5x=5については後で触れます。

y=(x+5)(x3)x5y=(x+5)(x3)x5y=0y=0となるとき、これは分子が00になるときなので(x+5)(x3)=0(x+5)(x3)=0すなわちx=5,3x=5,3です。したがって、(5,0),(3,0)(5,0),(3,0)がx軸との共有点となります。
また、x=0x=0のときy=3なので、(0,3)がy軸との共有点となります。

y=(x+5)(x3)x5の導関数を求めると
y={(x+5)(x3)}(x5)(x+5)(x3)(x5)(x5)2={(x+5)(x3)+(x+5)(x3)}(x5)(x+5)(x3)(x5)2=(2x+2)(x5)(x+5)(x3)(x5)2=x210x+5x210x+25=(x210x+25)20x210x+25=(x5)220(x5)2=120(x5)2
となります。
()よりy=0となるのは、分子が0になるときなので
(x5)220=0{(x5)+25}{(x5)25}=0{x(525)}{x(5+25)}=0x=5±25
のときです。
x=525のときy=1245x=5+25のときy=12+45なので、これらがそれぞれ極値となります。
y>0となるのは
(x5)220>0{x(525)}{x(5+25)}>0x<525,5+25<x
のときです。このときyは増加します。
y<0となるのは
(x5)220<0{x(525)}{x(5+25)}<0525<x<5+25
ただし、y,yともにx=5では定義されていないので525<x<5,5<x<5+25となります。このときyは減少します。
したがって、y=(x+5)(x3)x5の増減表は以下のようになります。
y=(x+5)(x-3)/(x-5)の増減表
増減表より1245は極大値、12+45は極小値であることがわかります。
また、y=(x+5)(x3)x5を変形し
y=x2+2x15x5=(x25x)+7x15x5=x(x5)+(7x35)+20x5=x(x5)+7(x5)+20x5=(x+7)(x5)+20x5=x+7+20x5
とすると、漸近線はy=x+7,x=5であることがわかります。約分前後どちらの有理関数においても定義できないx=5は漸近線の方程式となります。
したがって、以上のことからy=x3+4x211x30x23x10のグラフは以下のようになります。
y=(x+5)(x+2)(x-3)/(x+2)(x-5)のグラフ

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