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2023年7月13日

約分可能な有理関数のグラフは?

「次の関数のグラフの概形を描け。

(1)\large y=\dfrac{x^2}{x}

(2)\large y=\dfrac{(2x+3)(x+1)(x-2)}{x+1}

(3)\large y=\dfrac{x^3+4x^2-11x-30}{x^2-3x-10}


(1)y=\tfrac{x^2}{x}

 右辺を約分すると
\frac{x^2}{x}=x\tag{*}
となります。
だから、y=xのグラフを描けば正解……ではありません。

y=xのグラフとほぼ同じなのですが、唯一違う箇所が存在します。
それはx=0における点が存在しないことです。これは関数の定義域は元々の式の形によることと分数の分母は0になると値が定義できないことが理由となります。
\dfrac{x^2}{x}は分母が0になるx=0のときの値が定義できません。なので、y=\dfrac{x^2}{x}の定義域はx=0を除くすべての実数となります。これは約分後のy=xの定義域としても引き継がれています。
(*)も任意のxで成り立つものではなく、明記されていないものの分母が0になるx=0以外で成り立つという条件がついています。

y=xにおいてx=0における点とは(0,0)すなわち原点のことです。
したがって、y=\dfrac{x^2}{x}のグラフはy=xのグラフから原点を除いた以下のようなものとなります。
y=x^2/xのグラフ

(2)y=\tfrac{(2x+3)(x+1)(x-2)}{x+1}

 分母が0になる条件はx+1=0、すなわちx=-1です。このxにおける点は存在しません。
右辺を約分すると
\frac{(2x+3)(x+1)(x-2)}{x+1}=(2x+3)(x-2)

となります。
y=(2x+3)(x-2)においてx=-1のときy=-3なので、y=\dfrac{(2x+3)(x+1)(x-2)}{x+1}のグラフには点(-1,-3)が存在しません。

y=(2x+3)(x-2)y=0となるとき、x=-\dfrac{3}{2},2なので、\left(-\dfrac{3}{2},0\right),(2,0)がx軸との共有点となります。
また、x=0のときy=-6なので、(0,-6)がy軸との共有点となります。

右辺を展開して平方完成すると
\begin{align*}(2x+3)(x-2)&=2x^2-x-6\\[0.5em]&=2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{49}{8}\end{align*}
となるので、頂点の座標は\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{49}{8}\right)であるとわかります。
したがって、y=\dfrac{(2x+3)(x+1)(x-2)}{x+1}のグラフは以下のようになります。
y=(2x+3)(x+1)(x-2)/(x+1)のグラフ

(3)y=\tfrac{x^3+4x^2-11x-30}{x^2-3x-10}

 分母と分子をそれぞれ因数分解すると
\begin{align*}x^3+4x^2-11x-30&=(x+5)(x+2)(x-3)\\[0.5em]x^2-3x-10&=(x+2)(x-5)\end{align*}
となるので、分母が0になる条件(x+2)(x-5)=0すなわちx=-2,5における点は存在しません。
右辺を約分すると
\frac{(x+5)(x+2)(x-3)}{(x+2)(x-5)}=\frac{(x+5)(x-3)}{x-5}
となります。
y=\dfrac{(x+5)(x-3)}{x-5}においてx=-2のときy=\dfrac{15}{7}なので、y=\dfrac{x^3+4x^2-11x-30}{x^2-3x-10}のグラフには点\left(-2,\dfrac{15}{7}\right)が存在しません。x=5については後で触れます。

y=\dfrac{(x+5)(x-3)}{x-5}y=0となるとき、これは分子が0になるときなので(x+5)(x-3)=0すなわちx=-5,3です。したがって、(-5,0),(3,0)がx軸との共有点となります。
また、x=0のときy=3なので、(0,3)がy軸との共有点となります。

y=\dfrac{(x+5)(x-3)}{x-5}の導関数を求めると
\begin{align*}y'&=\frac{\bigl\{(x+5)(x-3)\bigr\}'(x-5)-(x+5)(x-3)(x-5)'}{(x-5)^2}\\[0.5em]&=\frac{\bigl\{(x+5)'(x-3)+(x+5)(x-3)'\bigr\}(x-5)-(x+5)(x-3)}{(x-5)^2}\\[0.5em]&=\frac{(2x+2)(x-5)-(x+5)(x-3)}{(x-5)^2}\\[0.5em]&=\frac{x^2-10x+5}{x^2-10x+25}\\[0.5em]&=\frac{(x^2-10x+25)-20}{x^2-10x+25}\\[0.5em]&=\frac{(x-5)^2-20}{(x-5)^2}\tag{*}\\[0.5em]&=1-\frac{20}{(x-5)^2}\end{align*}
となります。
(*)よりy'=0となるのは、分子が0になるときなので
\begin{align*}(x-5)^2-20&=0\\[0.5em]\{(x-5)+2\sqrt{5}\}\{(x-5)-2\sqrt{5}\}&=0\\[0.5em]\{x-(5-2\sqrt{5})\}\{x-(5+2\sqrt{5})\}&=0\\[0.5em]x&=5\pm2\sqrt{5}\end{align*}
のときです。
x=5-2\sqrt{5}のときy=12-4\sqrt{5}x=5+2\sqrt{5}のときy=12+4\sqrt{5}なので、これらがそれぞれ極値となります。
y'>0となるのは
\begin{align*}(x-5)^2-20&>0\\[0.5em]\{x-(5-2\sqrt{5})\}\{x-(5+2\sqrt{5})\}&>0\\[0.5em]x<5-2\sqrt{5},5+2\sqrt{5}<x\end{align*}
のときです。このときyは増加します。
y'<0となるのは
\begin{align*}(x-5)^2-20&<0\\[0.5em]\{x-(5-2\sqrt{5})\}\{x-(5+2\sqrt{5})\}&<0\\[0.5em]5-2\sqrt{5}<x<5+2\sqrt{5}\end{align*}
ただし、y,y'ともにx=5では定義されていないので5-2\sqrt{5}<x<5,5<x<5+2\sqrt{5}となります。このときyは減少します。
したがって、y=\dfrac{(x+5)(x-3)}{x-5}の増減表は以下のようになります。
y=(x+5)(x-3)/(x-5)の増減表
増減表より12-4\sqrt{5}は極大値、12+4\sqrt{5}は極小値であることがわかります。
また、y=\dfrac{(x+5)(x-3)}{x-5}を変形し
\begin{align*}y&=\frac{x^2+2x-15}{x-5}\\[0.5em]&=\frac{(x^2-5x)+7x-15}{x-5}\\[0.5em]&=\frac{x(x-5)+(7x-35)+20}{x-5}\\[0.5em]&=\frac{x(x-5)+7(x-5)+20}{x-5}\\[0.5em]&=\frac{(x+7)(x-5)+20}{x-5}\\[0.5em]&=x+7+\frac{20}{x-5}\end{align*}
とすると、漸近線はy=x+7,x=5であることがわかります。約分前後どちらの有理関数においても定義できないx=5は漸近線の方程式となります。
したがって、以上のことからy=\dfrac{x^3+4x^2-11x-30}{x^2-3x-10}のグラフは以下のようになります。
y=(x+5)(x+2)(x-3)/(x+2)(x-5)のグラフ

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