\[\text{CP}\cdot\text{AB}^2+\text{BP}\cdot\text{AC}^2=\text{BC}\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}\cdot\text{CP}\bigr)\]
という関係が成り立ちます。この関係のことをスチュワートの定理といいます。
なぜこれが成り立つといえるのでしょうか？
余弦定理を利用して成り立つことを確かめます。
$△\text{ABC}$の辺$\text{BC}$上に点$\text{P}$をうち、$∠\text{APB}=θ$とします。
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\[\text{AB}^2=\text{AP}^2+\text{BP}^2-2\text{AP}\cdot\text{BP}\cos\theta\]
が成り立ちます。
これを$\cosθ$について解くと
\begin{align*}2\text{AP}\cdot
\text{BP}\cos\theta&=\text{AP}^2+\text{BP}^2-\text{AB}^2\\[0.5em]\cos\theta&=\frac{\text{AP}^2+\text{BP}^2-\text{AB}^2}{2\text{AP}\cdot
\text{BP}}\tag1\end{align*}
となります。
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\[\text{AC}^2=\text{AP}^2+\text{CP}^2-2\text{AP}\cdot\text{CP}\cos(180°-\theta)\]
が成り立ちます。
また、三角関数の性質より$\cos(180°-θ)=-\cosθ$なので
\begin{align*}\text{AC}^2&=\text{AP}^2+\text{CP}^2-2\text{AP}\cdot
\text{CP}(-\cos\theta)\\[0.5em]&=\text{AP}^2+\text{CP}^2+2\text{AP}\cdot
\text{CP}\cos\theta\end{align*}
となり、$\cosθ$について解くと
\begin{align*}2\text{AP}\cdot
\text{CP}\cos\theta&=\text{AC}^2-\text{AP}^2-\text{CP}^2\\[0.5em]\cos\theta&=\frac{\text{AC}^2-\text{AP}^2-\text{CP}^2}{2\text{AP}\cdot
\text{CP}}\tag2\end{align*}
となります。
$(1), (2)$より
\begin{align*}\frac{\text{AP}^2+\text{BP}^2-\text{AB}^2}{2\text{AP}\cdot
\text{BP}}&=\frac{\text{AC}^2-\text{AP}^2-\text{CP}^2}{2\text{AP}\cdot
\text{CP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}^2+\text{BP}^2-\text{AB}^2}{\text{BP}}&=\frac{\text{AC}^2-\text{AP}^2-\text{CP}^2}{\text{CP}}\\[0.5em]\text{CP}\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}^2-\text{AB}^2\bigr)&=\text{BP}\bigl(\text{AC}^2-\text{AP}^2-\text{CP}^2\bigr)\\[0.5em]\text{CP}\cdot
\text{AB}^2+\text{BP}\cdot\text{AC}^2&=(\text{BP}+\text{CP})\text{AP}^2+\text{BP}\cdot
\text{CP}(\text{BP}+\text{CP})\\[0.5em]&=(\text{BP}+\text{CP})\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}\cdot\text{CP}\bigr)\end{align*}
$\text{BP}+\text{CP}=\text{BC}$より
\[\text{CP}\cdot\text{AB}^2+\text{BP}\cdot\text{AC}^2=\text{BC}\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}\cdot\text{CP}\bigr)\]
となり、スチュワートの定理が成り立つことがわかります。
点$\text{P}$が辺$\text{BC}$を$m:n$に内分すると考えると$\text{BP}=\dfrac{m}{m+n}\text{BC, CP}=\dfrac{n}{m+n}\text{BC}$となるので、スチュワートの定理の式は以下のように変形できます。
\begin{align*}\frac{n}{m+n}\text{BC}\cdot\text{AB}^2+\frac{m}{m+n}\text{BC}\cdot
\text{AC}^2&=\text{BC}\left\{\text{AP}^2+\frac{mn}{(m+n)^2}\text{BC}^2\right\}\end{align*}
両辺に$\dfrac{m+n}{\text{BC}}$を掛ければ
\[n\text{AB}^2+m\text{AC}^2=(m+n)\text{AP}^2+\frac{mn}{m+n}\text{BC}^2\]
点$\text{P}$が辺$\text{BC}$の中点であるとき、$\text{BP}=\text{CP, BC}=2\text{BP}$となるためスチュワートの定理の式は
\begin{align*}\text{BP}\cdot\text{AB}^2+\text{BP}\cdot
\text{AC}^2&=2\text{BP}\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}^2\bigr)\\[0.5em]\therefore&\text{AB}^2+\text{AC}^2=2\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}^2\bigr)\end{align*}
となり、中線定理の式となります。
線分$\text{AP}$が$∠\text{BAC}$の二等分線であるとき、スチュワートの定理から線分$\text{AP}$の長さを求める式をつくることができます。
三角形の内角の二等分線と比の性質より$\text{BP}:\text{CP}=\text{AB}:\text{AC}$が成り立ち、これを変形すると$\text{CP}\cdot
\text{AB}=\text{BP}\cdot\text{AC}$となります。
スチュワートの定理の式を変形します。
\begin{align*}\text{CP}\cdot\text{AB}^2+\text{BP}\cdot\text{AC}^2&=\text{BC}\cdot\text{AP}^2+\text{BC}\cdot\text{BP}\cdot
\text{CP}\\[0.5em]\text{BC}\cdot\text{AP}^2&=\text{CP}\cdot\text{AB}^2+\text{BP}\cdot\text{AC}^2-\text{BC}\cdot\text{BP}\cdot
\text{CP}\end{align*}
ここで、$\text{CP}\cdot\text{AB}=\text{BP}\cdot\text{AC}$より
\begin{align*}\text{BC}\cdot\text{AP}^2&=\text{BP}\cdot\text{AB}\cdot\text{AC}+\text{CP}\cdot\text{AB}\cdot
\text{AC}-\text{BC}\cdot\text{BP}\cdot\text{CP}\\[0.5em]&=(\text{BP}+\text{CP})\text{AB}\cdot\text{AC}-\text{BC}\cdot\text{BP}\cdot
\text{CP}\end{align*}
$\text{BP}+\text{CP}=\text{BC}$より
\begin{align*}\text{BC}\cdot\text{AP}^2&=\text{BC}\cdot \text{AB}\cdot\text{AC}-\text{BC}\cdot\text{BP}\cdot
\text{CP}\\[0.5em]\text{AP}^2&=\text{AB}\cdot\text{AC}-\text{BP}\cdot\text{CP}\\[0.5em]\text{AP}&=\sqrt{\text{AB}\cdot
\text{AC}-\text{BP}\cdot\text{CP}}&(\because \text{AP}>0)\end{align*}
となります。
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