スチュワートの定理 ~ 数学について考えてみる

△ ABC

$△\text{ABC}$ の辺

BC

$\text{BC}$ 上に点

P

$\text{P}$ をうち、線分

AP

$\text{AP}$ を引くと

CP \cdot {AB}^{2} + BP \cdot {AC}^{2} = BC ({AP}^{2} + BP \cdot CP)

$\text{CP}\cdot\text{AB}^2+\text{BP}\cdot\text{AC}^2=\text{BC}\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}\cdot\text{CP}\bigr)$

という関係が成り立ちます。この関係のことをスチュワートの定理といいます。

なぜこれが成り立つといえるのでしょうか？

　余弦定理を利用して成り立つことを確かめます。

△ ABC

$△\text{ABC}$ の辺

BC

$\text{BC}$ 上に点

P

$\text{P}$ をうち、

∠ APB = θ

$∠\text{APB}=θ$ とします。

△ ABP

$△\text{ABP}$ に着目して、余弦定理より

{AB}^{2} = {AP}^{2} + {BP}^{2} - 2 AP \cdot BP cos θ

$\text{AB}^2=\text{AP}^2+\text{BP}^2-2\text{AP}\cdot\text{BP}\cos\theta$

が成り立ちます。

これを

cos θ

$\cosθ$ について解くと

\begin{matrix} 2 AP \cdot BP cos θ & = {AP}^{2} + {BP}^{2} - {AB}^{2} cos θ & = \frac{{AP}^{2} + {BP}^{2} - {AB}^{2}}{2 AP \cdot BP} \\ (1) \end{matrix}

$\begin{align*}2\text{AP}\cdot \text{BP}\cos\theta&=\text{AP}^2+\text{BP}^2-\text{AB}^2\\[0.5em]\cos\theta&=\frac{\text{AP}^2+\text{BP}^2-\text{AB}^2}{2\text{AP}\cdot \text{BP}}\tag1\end{align*}$

となります。

　次に

△ ACP

$△\text{ACP}$ に着目すると

∠ APB = θ

$∠\text{APB}=θ$ より

∠ APC = 180 ° - θ

$∠\text{APC}=180°-θ$ なので、余弦定理より

{AC}^{2} = {AP}^{2} + {CP}^{2} - 2 AP \cdot CP cos (180 ° - θ)

$\text{AC}^2=\text{AP}^2+\text{CP}^2-2\text{AP}\cdot\text{CP}\cos(180°-\theta)$

が成り立ちます。

また、三角関数の性質より

cos (180 ° - θ) = - cos θ

$\cos(180°-θ)=-\cosθ$ なので

\begin{matrix} {AC}^{2} & = {AP}^{2} + {CP}^{2} - 2 AP \cdot CP (- cos θ) = {AP}^{2} + {CP}^{2} + 2 AP \cdot CP cos θ \end{matrix}

$\begin{align*}\text{AC}^2&=\text{AP}^2+\text{CP}^2-2\text{AP}\cdot \text{CP}(-\cos\theta)\\[0.5em]&=\text{AP}^2+\text{CP}^2+2\text{AP}\cdot \text{CP}\cos\theta\end{align*}$

となり、

cos θ

$\cosθ$ について解くと

\begin{matrix} 2 AP \cdot CP cos θ & = {AC}^{2} - {AP}^{2} - {CP}^{2} cos θ & = \frac{{AC}^{2} - {AP}^{2} - {CP}^{2}}{2 AP \cdot CP} \\ (2) \end{matrix}

$\begin{align*}2\text{AP}\cdot \text{CP}\cos\theta&=\text{AC}^2-\text{AP}^2-\text{CP}^2\\[0.5em]\cos\theta&=\frac{\text{AC}^2-\text{AP}^2-\text{CP}^2}{2\text{AP}\cdot \text{CP}}\tag2\end{align*}$

となります。

(1), (2)

$(1), (2)$ より

\begin{matrix} \frac{{AP}^{2} + {BP}^{2} - {AB}^{2}}{2 AP \cdot BP} & = \frac{{AC}^{2} - {AP}^{2} - {CP}^{2}}{2 AP \cdot CP} \frac{{AP}^{2} + {BP}^{2} - {AB}^{2}}{BP} & = \frac{{AC}^{2} - {AP}^{2} - {CP}^{2}}{CP} CP ({AP}^{2} + {BP}^{2} - {AB}^{2}) & = BP ({AC}^{2} - {AP}^{2} - {CP}^{2}) CP \cdot {AB}^{2} + BP \cdot {AC}^{2} & = (BP + CP) {AP}^{2} + BP \cdot CP (BP + CP) = (BP + CP) ({AP}^{2} + BP \cdot CP) \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{\text{AP}^2+\text{BP}^2-\text{AB}^2}{2\text{AP}\cdot \text{BP}}&=\frac{\text{AC}^2-\text{AP}^2-\text{CP}^2}{2\text{AP}\cdot \text{CP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}^2+\text{BP}^2-\text{AB}^2}{\text{BP}}&=\frac{\text{AC}^2-\text{AP}^2-\text{CP}^2}{\text{CP}}\\[0.5em]\text{CP}\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}^2-\text{AB}^2\bigr)&=\text{BP}\bigl(\text{AC}^2-\text{AP}^2-\text{CP}^2\bigr)\\[0.5em]\text{CP}\cdot \text{AB}^2+\text{BP}\cdot\text{AC}^2&=(\text{BP}+\text{CP})\text{AP}^2+\text{BP}\cdot \text{CP}(\text{BP}+\text{CP})\\[0.5em]&=(\text{BP}+\text{CP})\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}\cdot\text{CP}\bigr)\end{align*}$

BP + CP = BC

$\text{BP}+\text{CP}=\text{BC}$ より

CP \cdot {AB}^{2} + BP \cdot {AC}^{2} = BC ({AP}^{2} + BP \cdot CP)

$\text{CP}\cdot\text{AB}^2+\text{BP}\cdot\text{AC}^2=\text{BC}\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}\cdot\text{CP}\bigr)$

となり、スチュワートの定理が成り立つことがわかります。

　点

P

$\text{P}$ が辺

BC

$\text{BC}$ を

m : n

$m:n$ に内分すると考えると

BP = \frac{m}{m + n} BC, CP = \frac{n}{m + n} BC

$\text{BP}=\dfrac{m}{m+n}\text{BC, CP}=\dfrac{n}{m+n}\text{BC}$ となるので、スチュワートの定理の式は以下のように変形できます。

\begin{matrix} \frac{n}{m + n} BC \cdot {AB}^{2} + \frac{m}{m + n} BC \cdot {AC}^{2} & = BC {{AP}^{2} + \frac{m n}{(m + n)^{2}} {BC}^{2}} \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{n}{m+n}\text{BC}\cdot\text{AB}^2+\frac{m}{m+n}\text{BC}\cdot \text{AC}^2&=\text{BC}\left\{\text{AP}^2+\frac{mn}{(m+n)^2}\text{BC}^2\right\}\end{align*}$

両辺に

\frac{m + n}{BC}

$\dfrac{m+n}{\text{BC}}$ を掛ければ

n {AB}^{2} + m {AC}^{2} = (m + n) {AP}^{2} + \frac{m n}{m + n} {BC}^{2}

$n\text{AB}^2+m\text{AC}^2=(m+n)\text{AP}^2+\frac{mn}{m+n}\text{BC}^2$

　点

P

$\text{P}$ が辺

BC

$\text{BC}$ の中点であるとき、

BP = CP, BC = 2 BP

$\text{BP}=\text{CP, BC}=2\text{BP}$ となるためスチュワートの定理の式は

\begin{matrix} BP \cdot {AB}^{2} + BP \cdot {AC}^{2} & = 2 BP ({AP}^{2} + {BP}^{2}) ∴ & {AB}^{2} + {AC}^{2} = 2 ({AP}^{2} + {BP}^{2}) \end{matrix}

$\begin{align*}\text{BP}\cdot\text{AB}^2+\text{BP}\cdot \text{AC}^2&=2\text{BP}\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}^2\bigr)\\[0.5em]\therefore&\text{AB}^2+\text{AC}^2=2\bigl(\text{AP}^2+\text{BP}^2\bigr)\end{align*}$

となり、中線定理の式となります。

　線分

AP

$\text{AP}$ が

∠ BAC

$∠\text{BAC}$ の二等分線であるとき、スチュワートの定理から線分

AP

$\text{AP}$ の長さを求める式をつくることができます。

三角形の内角の二等分線と比の性質より

BP : CP = AB : AC

$\text{BP}:\text{CP}=\text{AB}:\text{AC}$ が成り立ち、これを変形すると

CP \cdot AB = BP \cdot AC

$\text{CP}\cdot \text{AB}=\text{BP}\cdot\text{AC}$ となります。

スチュワートの定理の式を変形します。

\begin{matrix} CP \cdot {AB}^{2} + BP \cdot {AC}^{2} & = BC \cdot {AP}^{2} + BC \cdot BP \cdot CP BC \cdot {AP}^{2} & = CP \cdot {AB}^{2} + BP \cdot {AC}^{2} - BC \cdot BP \cdot CP \end{matrix}

$\begin{align*}\text{CP}\cdot\text{AB}^2+\text{BP}\cdot\text{AC}^2&=\text{BC}\cdot\text{AP}^2+\text{BC}\cdot\text{BP}\cdot \text{CP}\\[0.5em]\text{BC}\cdot\text{AP}^2&=\text{CP}\cdot\text{AB}^2+\text{BP}\cdot\text{AC}^2-\text{BC}\cdot\text{BP}\cdot \text{CP}\end{align*}$

ここで、

CP \cdot AB = BP \cdot AC

$\text{CP}\cdot\text{AB}=\text{BP}\cdot\text{AC}$ より

\begin{matrix} BC \cdot {AP}^{2} & = BP \cdot AB \cdot AC + CP \cdot AB \cdot AC - BC \cdot BP \cdot CP = (BP + CP) AB \cdot AC - BC \cdot BP \cdot CP \end{matrix}

$\begin{align*}\text{BC}\cdot\text{AP}^2&=\text{BP}\cdot\text{AB}\cdot\text{AC}+\text{CP}\cdot\text{AB}\cdot \text{AC}-\text{BC}\cdot\text{BP}\cdot\text{CP}\\[0.5em]&=(\text{BP}+\text{CP})\text{AB}\cdot\text{AC}-\text{BC}\cdot\text{BP}\cdot \text{CP}\end{align*}$

BP + CP = BC

$\text{BP}+\text{CP}=\text{BC}$ より

\begin{matrix} BC \cdot {AP}^{2} & = BC \cdot AB \cdot AC - BC \cdot BP \cdot CP {AP}^{2} & = AB \cdot AC - BP \cdot CP AP & = \sqrt{AB \cdot AC - BP \cdot CP} & (∵ AP > 0) \end{matrix}

$\begin{align*}\text{BC}\cdot\text{AP}^2&=\text{BC}\cdot \text{AB}\cdot\text{AC}-\text{BC}\cdot\text{BP}\cdot \text{CP}\\[0.5em]\text{AP}^2&=\text{AB}\cdot\text{AC}-\text{BP}\cdot\text{CP}\\[0.5em]\text{AP}&=\sqrt{\text{AB}\cdot \text{AC}-\text{BP}\cdot\text{CP}}&(\because \text{AP}>0)\end{align*}$

となります。

数学について考えてみる

2023年7月17日

スチュワートの定理

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