\[AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD\]
という関係が成り立つという定理のことです。
加法定理
\[\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\]
の$x,y$にそれぞれ$θ_1,θ_2$を代入した
\begin{equation}\sin(\theta_1+\theta_2)=\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2\end{equation}
$θ_2,θ_3$を代入した
\begin{equation}\sin(\theta_2+\theta_3)=\sin\theta_2\cos\theta_3+\cos\theta_2\sin\theta_3\end{equation}
をつくり、$(1),(2)$の辺々を掛けます。
\begin{align*}&\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\cos\theta_3+\sin\theta_1\cos^2\theta_2\sin\theta_3\\
&\qquad+\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3+\cos\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\sin\theta_3\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\cos^2\theta_2\sin\theta_3\\
&\qquad+(\sin\theta_1\cos\theta_3+\cos\theta_1\sin\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2\\
&\qquad+\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\cos^2\theta_2\sin\theta_3\\
&\qquad+\sin(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3\end{align*}
三角関数の相互関係$\sin^2x+\cos^2x=1$より$\cos^2x=1-\sin^2x$なので
\begin{align*}&\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=\sin\theta_1(1-\sin^2\theta_2)\sin\theta_3+\sin(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2\\
&\qquad+\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2\\
&\qquad+(\cos\theta_1\cos\theta_3-\sin\theta_1\sin\theta_3)\sin^2\theta_2\end{align*}
加法定理$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$より
\begin{align*}&\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_3\\
&\qquad+\sin(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2+\cos(\theta_1+\theta_3)\sin^2\theta_2\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_3\\
&\qquad+\sin\theta_2\bigl\{\sin(\theta_1+\theta_3)\cos\theta_2+\cos(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\bigr\}\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin(\theta_1+\theta_2+\theta_3)\end{align*}
$180°-(θ_1+θ_2+θ_3)=θ_4$とすると、三角関数の性質$\sin(180°-x)=\sin x$より
\begin{align*}\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)&=\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin\theta_4\\
&(ただし、theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4=180°)\end{align*}
が成り立つことがわかります。
さらに両辺に$4R^2$ $(R>0)$を掛けて
\begin{equation}\begin{aligned}&4R^2\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=4R^2\sin\theta_1\sin\theta_3+4R^2\sin\theta_2\sin\theta_4\end{aligned}\end{equation}
とします。
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弦$AB$に対する円周角$∠ACB,∠ADB$の大きさを$θ_1$、弦$BC$に対する円周角$∠BAC,∠BDC$の大きさを$θ_2$、弦$CD$に対する円周角$∠CAD,∠CBD$の大きさを$θ_3$、弦$AD$に対する円周角$∠ABD,∠ACD$の大きさを$θ_4$とします。
このとき円に内接する四角形の性質より
\begin{align*}∠ADC+∠ABC&=(\theta_1+\theta_2)+(\theta_3+\theta_4)\\[0.5em]&=180°\\[0.5em]\therefore\theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4&=180°\end{align*}
が成り立ちます。（つまり、$(3)$における角度の条件を満たしています。）
また、$△ACD$に着目して正弦定理より
\[\frac{AC}{\sin(\theta_1+\theta_2)}=\frac{CD}{\sin\theta_3}=\frac{AD}{\sin\theta_4}=2R\]
であることから
\begin{align}AC&=2R\sin(\theta_1+\theta_2)\\[1em]CD&=2R\sin\theta_3\\[1em]AD&=2R\sin\theta_4\end{align}
が成り立ちます。
同様に$△ABD$に着目して
\[\frac{BD}{\sin(\theta_2+\theta_3)}=\frac{AB}{\sin\theta_1}=2R\]
であることから
\begin{align}BD&=2R\sin(\theta_2+\theta_3)\\[1em]AB&=2R\sin\theta_1\end{align}
が、$△ABC$に着目して
\[\frac{BC}{\sin\theta_2}=2R\]
であることから
\begin{equation}BC=2R\sin\theta_2\end{equation}
が成り立ちます。
ここで、$(3)$を変形して$(4)～(9)$を代入すると
\begin{align*}&2R\sin(\theta_1+\theta_2)\cdot2R\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=2R\sin\theta_1\cdot2R\sin\theta_3+2R\sin\theta_2\cdot2R\sin\theta_4\\[0.5em]&AC\cdot
BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD\end{align*}
すなわち、
\[AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD\]
となるため、トレミーの定理は成り立つことがわかります。
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