\large\text{AB}\cdot\text{CD}+\text{AD}\cdot\text{BC}=\text{AC}\cdot\text{BD}
という関係が成り立つという定理のことです。
これが成り立つことを、加法定理と正弦定理を利用して証明してみます。
加法定理
\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y
のx,yにそれぞれθ_1,θ_2を代入した
\begin{equation}\sin(\theta_1+\theta_2)=\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2\end{equation}
θ_2,θ_3を代入した
\begin{equation}\sin(\theta_2+\theta_3)=\sin\theta_2\cos\theta_3+\cos\theta_2\sin\theta_3\end{equation}
をつくり、(1),(2)の辺々を掛けます。
\begin{align*}&\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\cos\theta_3+\sin\theta_1\cos^2\theta_2\sin\theta_3\\
&\qquad+\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3+\cos\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\sin\theta_3\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\cos^2\theta_2\sin\theta_3\\
&\qquad+(\sin\theta_1\cos\theta_3+\cos\theta_1\sin\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2\\
&\qquad+\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\cos^2\theta_2\sin\theta_3\\
&\qquad+\sin(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3\end{align*}
三角関数の相互関係\sin^2x+\cos^2x=1より\cos^2x=1-\sin^2xなので
\begin{align*}&\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=\sin\theta_1(1-\sin^2\theta_2)\sin\theta_3+\sin(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2\\
&\qquad+\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2\\
&\qquad+(\cos\theta_1\cos\theta_3-\sin\theta_1\sin\theta_3)\sin^2\theta_2\end{align*}
加法定理\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin yより
\begin{align*}&\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_3\\
&\qquad+\sin(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2+\cos(\theta_1+\theta_3)\sin^2\theta_2\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_3\\
&\qquad+\sin\theta_2\bigl\{\sin(\theta_1+\theta_3)\cos\theta_2+\cos(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\bigr\}\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin(\theta_1+\theta_2+\theta_3)\end{align*}
180°-(θ_1+θ_2+θ_3)=θ_4とすると、三角関数の性質\sin(180°-x)=\sin xより
\begin{align*}\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)&=\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin\theta_4\\
&(ただし、theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4=180°)\end{align*}
が成り立つことがわかります。
さらに両辺に4R^2 (R>0)を掛けて
\begin{equation}\begin{aligned}&4R^2\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=4R^2\sin\theta_1\sin\theta_3+4R^2\sin\theta_2\sin\theta_4\end{aligned}\end{equation}
とします。
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弦\text{AB}に対する円周角∠\text{ACB},∠\text{ADB}の大きさをθ_1、弦\text{BC}に対する円周角∠\text{BAC},∠\text{BDC}の大きさをθ_2、弦\text{CD}に対する円周角∠\text{CAD},∠\text{CBD}の大きさをθ_3、弦\text{AD}に対する円周角∠\text{ABD},∠\text{ACD}の大きさをθ_4とします。
このとき円に内接する四角形の性質より
\begin{align*}∠\text{ADC}+∠\text{ABC}&=(\theta_1+\theta_2)+(\theta_3+\theta_4)\\[0.5em]&=180°\\[0.5em]\therefore\theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4&=180°\end{align*}
が成り立ちます。（つまり、(3)における角度の条件を満たしています。）
また、△\text{ACD}に着目して正弦定理より
\frac{\text{AC}}{\sin(\theta_1+\theta_2)}=\frac{\text{CD}}{\sin\theta_3}=\frac{\text{AD}}{\sin\theta_4}=2R
であることから
\begin{align}\text{AC}&=2R\sin(\theta_1+\theta_2)\\[1em]\text{CD}&=2R\sin\theta_3\\[1em]\text{AD}&=2R\sin\theta_4\end{align}
が成り立ちます。
同様に△\text{ABD}に着目して
\frac{\text{BD}}{\sin(\theta_2+\theta_3)}=\frac{\text{AB}}{\sin\theta_1}=2R
であることから
\begin{align}\text{BD}&=2R\sin(\theta_2+\theta_3)\\[1em]\text{AB}&=2R\sin\theta_1\end{align}
が、△\text{ABC}に着目して
\frac{\text{BC}}{\sin\theta_2}=2R
であることから
\begin{equation}\text{BC}=2R\sin\theta_2\end{equation}
が成り立ちます。
ここで、(3)を変形して(4)～(9)を代入すると
\begin{align*}&2R\sin(\theta_1+\theta_2)\cdot2R\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=2R\sin\theta_1\cdot2R\sin\theta_3+2R\sin\theta_2\cdot2R\sin\theta_4\\[0.5em]&\text{AC}\cdot
\text{BD}=\text{AB}\cdot\text{CD}+\text{BC}\cdot\text{AD}\end{align*}
すなわち、
\text{AB}\cdot\text{CD}+\text{AD}\cdot\text{BC}=\text{AC}\cdot\text{BD}
となるため、トレミーの定理は成り立つことがわかります。
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