\[\large\text{AB}\cdot\text{CD}+\text{AD}\cdot\text{BC}=\text{AC}\cdot\text{BD}\]
という関係が成り立つという定理のことです。
これが成り立つことを、加法定理と正弦定理を利用して証明してみます。
加法定理
\[\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\]
の$x,y$にそれぞれ$θ_1,θ_2$を代入した
\begin{equation}\sin(\theta_1+\theta_2)=\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2\end{equation}
$θ_2,θ_3$を代入した
\begin{equation}\sin(\theta_2+\theta_3)=\sin\theta_2\cos\theta_3+\cos\theta_2\sin\theta_3\end{equation}
をつくり、$(1),(2)$の辺々を掛けます。
\begin{align*}&\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\cos\theta_3+\sin\theta_1\cos^2\theta_2\sin\theta_3\\
&\qquad+\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3+\cos\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_2\sin\theta_3\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\cos^2\theta_2\sin\theta_3\\
&\qquad+(\sin\theta_1\cos\theta_3+\cos\theta_1\sin\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2\\
&\qquad+\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\cos^2\theta_2\sin\theta_3\\
&\qquad+\sin(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3\end{align*}
三角関数の相互関係$\sin^2x+\cos^2x=1$より$\cos^2x=1-\sin^2x$なので
\begin{align*}&\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=\sin\theta_1(1-\sin^2\theta_2)\sin\theta_3+\sin(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2\\
&\qquad+\cos\theta_1\sin^2\theta_2\cos\theta_3\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2\\
&\qquad+(\cos\theta_1\cos\theta_3-\sin\theta_1\sin\theta_3)\sin^2\theta_2\end{align*}
加法定理$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$より
\begin{align*}&\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_3\\
&\qquad+\sin(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\cos\theta_2+\cos(\theta_1+\theta_3)\sin^2\theta_2\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_3\\
&\qquad+\sin\theta_2\bigl\{\sin(\theta_1+\theta_3)\cos\theta_2+\cos(\theta_1+\theta_3)\sin\theta_2\bigr\}\\[0.5em]&\quad=\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin(\theta_1+\theta_2+\theta_3)\end{align*}
$180°-(θ_1+θ_2+θ_3)=θ_4$とすると、三角関数の性質$\sin(180°-x)=\sin x$より
\begin{align*}\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)&=\sin\theta_1\sin\theta_3+\sin\theta_2\sin\theta_4\\
&(ただし、theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4=180°)\end{align*}
が成り立つことがわかります。
さらに両辺に$4R^2$ $(R>0)$を掛けて
\begin{equation}\begin{aligned}&4R^2\sin(\theta_1+\theta_2)\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=4R^2\sin\theta_1\sin\theta_3+4R^2\sin\theta_2\sin\theta_4\end{aligned}\end{equation}
とします。
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弦$\text{AB}$に対する円周角$∠\text{ACB},∠\text{ADB}$の大きさを$θ_1$、弦$\text{BC}$に対する円周角$∠\text{BAC},∠\text{BDC}$の大きさを$θ_2$、弦$\text{CD}$に対する円周角$∠\text{CAD},∠\text{CBD}$の大きさを$θ_3$、弦$\text{AD}$に対する円周角$∠\text{ABD},∠\text{ACD}$の大きさを$θ_4$とします。
このとき円に内接する四角形の性質より
\begin{align*}∠\text{ADC}+∠\text{ABC}&=(\theta_1+\theta_2)+(\theta_3+\theta_4)\\[0.5em]&=180°\\[0.5em]\therefore\theta_1+\theta_2+\theta_3+\theta_4&=180°\end{align*}
が成り立ちます。（つまり、$(3)$における角度の条件を満たしています。）
また、$△\text{ACD}$に着目して正弦定理より
\[\frac{\text{AC}}{\sin(\theta_1+\theta_2)}=\frac{\text{CD}}{\sin\theta_3}=\frac{\text{AD}}{\sin\theta_4}=2R\]
であることから
\begin{align}\text{AC}&=2R\sin(\theta_1+\theta_2)\\[1em]\text{CD}&=2R\sin\theta_3\\[1em]\text{AD}&=2R\sin\theta_4\end{align}
が成り立ちます。
同様に$△\text{ABD}$に着目して
\[\frac{\text{BD}}{\sin(\theta_2+\theta_3)}=\frac{\text{AB}}{\sin\theta_1}=2R\]
であることから
\begin{align}\text{BD}&=2R\sin(\theta_2+\theta_3)\\[1em]\text{AB}&=2R\sin\theta_1\end{align}
が、$△\text{ABC}$に着目して
\[\frac{\text{BC}}{\sin\theta_2}=2R\]
であることから
\begin{equation}\text{BC}=2R\sin\theta_2\end{equation}
が成り立ちます。
ここで、$(3)$を変形して$(4)～(9)$を代入すると
\begin{align*}&2R\sin(\theta_1+\theta_2)\cdot2R\sin(\theta_2+\theta_3)\\
&\quad=2R\sin\theta_1\cdot2R\sin\theta_3+2R\sin\theta_2\cdot2R\sin\theta_4\\[0.5em]&\text{AC}\cdot
\text{BD}=\text{AB}\cdot\text{CD}+\text{BC}\cdot\text{AD}\end{align*}
すなわち、
\[\text{AB}\cdot\text{CD}+\text{AD}\cdot\text{BC}=\text{AC}\cdot\text{BD}\]
となるため、トレミーの定理は成り立つことがわかります。
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