角度に関する性質
このことから∠AHE=∠Bです。
このことから∠AHF=∠Cです。
垂心周りの他の4つの角のうち2つは∠AEH, ∠AFHの対頂角で、残る2つの角は∠BHCの外角となります。
∠BHC=∠B+∠Cで隣り合う内角と外角の和は180°であることから、外角の大きさは∠Aに等しいことがわかります。
∠BHC=∠B+∠Cで隣り合う内角と外角の和は180°であることから、外角の大きさは∠Aに等しいことがわかります。
したがって、鈍角三角形の垂心周りの角は鋭角三角形のときと同様、その三角形の内角と等しい大きさの角が集まっていることがわかります。
長さに関する性質
3本の垂線の長さや垂線や垂心によって分割されてできる線分の長さを調べます。
ここで、正弦定理より
BCsin∠A=ACsin∠B=ABsin∠C=2R(R:外接円の半径)
であり、これを変形すると
BC=2Rsin∠AAC=2Rsin∠BAB=2Rsin∠C
が得られます。これらを利用して各線分の長さを表すと
BD=2Rcos∠Bsin∠CCD=2Rsin∠Bcos∠CAD=2Rsin∠Bsin∠C
となります。
上でBD=2Rcos∠Bsin∠C, CD=2Rsin∠Bcos∠C, ∠BHD=∠C, ∠CHD=∠Bであることがわかったので、これらを代入すると
BH=2Rcos∠BCH=2Rcos∠CDH=2Rcos∠Bcos∠C
となります。
(1)、CH=2Rcos∠C、∠CHF=∠B+∠C=180°−∠Aを利用すると
BF=2Rsin∠Asin∠CFH=2Rcos∠Ccos(180°−∠A)=−2Rcos∠Acos∠C(∵cos(180°−θ)=−cosθ)CF=2Rsin∠Acos∠C
となります。線分FHの長さにマイナスが付くのは∠Aが鈍角でcos∠Aが負の値となるためです。
(1)、BH=2Rcos∠B、∠BHE=180°−∠Aを利用すると
CE=2Rsin∠Asin∠BEH=2Rcos∠Bcos(180°−∠A)=−2Rcos∠Acos∠BBE=2Rsin∠Acos∠B
となります。
上でEH=−2Rcos∠Acos∠B, FH=−2Rcos∠Acos∠C、∠AHE=∠B, ∠AHF=∠Cであることがわかったので、これらを代入すると
AE=−2Rcos∠Acos∠Btan∠B=−2Rcos∠Acos∠B⋅sin∠Bcos∠B=−2Rcos∠Asin∠BAF=−2Rcos∠Acos∠Ctan∠C=−2Rcos∠Asin∠CAH=−2Rcos∠A
となります。
相似に関する性質
垂心Hを頂点の1つとする直角三角形の相似について調べます。
また、その相似比はBD=2Rcos∠Bsin∠C, AF=−2Rcos∠Asin∠CよりBD:AF=cos∠B:−cos∠Aとなります。
また、その相似比はCD=2Rsin∠Bcos∠C, AE=−2Rcos∠Asin∠BよりCD:AE=cos∠C:−cos∠Aとなります。
また、その相似比はBH=2Rcos∠B, CH=2Rcos∠CよりBH:CH=cos∠B:cos∠Cとなります。
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