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2023年7月30日

鈍角三角形の3本の垂線の性質

鈍角三角形の3本の垂線
 鋭角三角形の各頂点から対辺におろした3本の垂線にはどのような性質があるでしょうか?

角度に関する性質

鈍角三角形の垂心周りの角
 3本の垂線の交点である垂心H周りにできる角の大きさを調べます。

△AEHと△ADB
 AEHADBに着目すると、AEH=ADB=90°、対頂角EAH=DABより、2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
このことからAHE=Bです。

△AFHと△ADC
 AFHADCに着目すると、AFH=ADC=90°、対頂角FAH=DACより、2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
このことからAHF=Cです。

鈍角三角形の内角と垂心周りの角
垂心周りの他の4つの角のうち2つはAEH, AFHの対頂角で、残る2つの角はBHCの外角となります。
BHC=B+Cで隣り合う内角と外角の和は180°であることから、外角の大きさはAに等しいことがわかります。
したがって、鈍角三角形の垂心周りの角は鋭角三角形のときと同様、その三角形の内角と等しい大きさの角が集まっていることがわかります。

長さに関する性質

 3本の垂線の長さや垂線や垂心によって分割されてできる線分の長さを調べます。
△ABDと△ACD
 ABDに着目すると
BD=ABcosB
ACDに着目すると
CD=ACcosC
両方の三角形より
AD=ABsinB=ACsinC
であることがわかります。
ここで、正弦定理より
BCsinA=ACsinB=ABsinC=2R(R:)
であり、これを変形すると
BC=2RsinAAC=2RsinBAB=2RsinC
が得られます。これらを利用して各線分の長さを表すと
BD=2RcosBsinCCD=2RsinBcosCAD=2RsinBsinC
となります。

△BDHと△CDH
 BDHに着目すると
BH=BDsinBHD
CDHに着目すると
CH=CDsinCHD
両方の三角形より
DH=BHcosBHD=CHcosCHD
となります。
上でBD=2RcosBsinC, CD=2RsinBcosC, BHD=C, CHD=Bであることがわかったので、これらを代入すると
BH=2RcosBCH=2RcosCDH=2RcosBcosC
となります。

△BCFと△CFH
 BCFに着目すると
BF=BCsinC
CFHに着目すると
FH=CHcosCHF
両方の三角形より
CF=BCcosC=CHsinCHF
となります。
(1)CH=2RcosCCHF=B+C=180°Aを利用すると
BF=2RsinAsinCFH=2RcosCcos(180°A)=2RcosAcosC(cos(180°θ)=cosθ)CF=2RsinAcosC
となります。線分FHの長さにマイナスが付くのはAが鈍角でcosAが負の値となるためです。

△BCEと△BEH
 BCEに着目すると
CE=BCsinB
BEHに着目すると
EH=BHcosBHE
両方の三角形より
BE=BCcosB=BHsinBHE
となります。
(1)BH=2RcosBBHE=180°Aを利用すると
CE=2RsinAsinBEH=2RcosBcos(180°A)=2RcosAcosBBE=2RsinAcosB
となります。

△AEHと△AFH
 AEHに着目すると
AE=EHtanAHE
AFHに着目すると
AF=FHtanAHF
両方の三角形より
AH=EHcosAHE=FHcosAHF
となります。
上でEH=2RcosAcosB, FH=2RcosAcosCAHE=B, AHF=Cであることがわかったので、これらを代入すると
AE=2RcosAcosBtanB=2RcosAcosBsinBcosB=2RcosAsinBAF=2RcosAcosCtanC=2RcosAsinCAH=2RcosA
となります。

垂心Hと各頂点を通る直線を引いたときにできる線分の長さは以下のようになります。
垂心から各頂点、辺までの距離

相似に関する性質

 垂心Hを頂点の1つとする直角三角形の相似について調べます。
△HBDと△HAF
 HBDHAFに着目すると、HDB=HFA=90°と共通の角BHD=AHFより2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
また、その相似比はBD=2RcosBsinC, AF=2RcosAsinCよりBD:AF=cosB:cosAとなります。

△HCDと△HAE
 HCDHAEに着目すると、HDC=HEA=90°、共通の角CHD=AHEより2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
また、その相似比はCD=2RsinBcosC, AE=2RcosAsinBよりCD:AE=cosC:cosAとなります。

△HBEと△HCF
 HBEHCFに着目すると、BEH=CFH=90°、共通の角BHE=CHFより2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
また、その相似比はBH=2RcosB, CH=2RcosCよりBH:CH=cosB:cosCとなります。

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