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2023年7月31日

三角形の外心と垂心の関係

 三角形の外心と垂心には次のような性質があります。
頂点から垂心までの距離と対辺から外心までの距離の関係
「三角形のある頂点から垂心までの距離は、その対辺から外心までの距離の2倍である。」

上図のように頂点AAとその対辺BCBCに着目した場合は、頂点AAから垂心HHまでの距離AHAHと外心OOから対辺BCBCまでの距離OMOMの間にはAH=2OMAH=2OMが成り立ちます。
これが成り立つことを鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形それぞれの場合にわけて確かめてみます。


鋭角三角形の場合

鋭角三角形の場合の垂心と外心の関係
 鋭角三角形ABCABCの垂心をHHと外心をOOとします。また、外接円の半径をRRとします。
頂点AAとその対辺BCBCに着目した場合を考えます。
頂点AAから垂心HHまでの距離、すなわち線分AHAHの長さは鋭角三角形の3本の垂線の性質より
AH=2RcosAAH=2RcosA
となります。

 外心Oから辺BCまでの距離はOからBCへおろした垂線の長さとなります。すなわち、その垂線の足をMとすると、線分OMの長さとなります。

ここで、OBCに着目すると内角BOCは弧BCに対する中心角であることがわかります。また、弧BCに対する円周角はAなので、円周角の定理よりBOC=2Aとなります。

さらにOBCBO=CO=Rより二等辺三角形なので、OMは辺BCの垂直二等分線かつBOCの二等分線であるとわかります。
このことから、点Mは辺BCの中点であり、BOM=Aとなることがわかります。

OBMに着目すると三角比より
OM=BOcosBOM=RcosA
となります。

したがって、AH=2OMが成り立つことがわかります。
これは頂点Bとその対辺AC、頂点Cとその対辺ABそれぞれに着目した場合も同様に成り立つことを確かめることができます。


直角三角形の場合

直角三角形の垂心と外心
 A=90°である直角三角形の垂心Hは頂点Aと重なり、外心Oは斜辺BCの中点Mと重なります。
したがって、頂点Aとその対辺BCに着目した場合、頂点Aから垂心Hまでの距離も外心Oから辺BCまでの距離も0となるため、AH=2OMが成り立っているといえます。

直角以外の頂点に着目したときの垂心と外心の関係
 頂点Bとその対辺ACに着目した場合、頂点Bから垂心Hまでの距離は、直角三角形ABCの垂心Hと頂点Aが一致していることから辺ABの長さに等しいです。

外心OACまでの距離は、OからACへおろした垂線の足をPとすると線分OPの長さとなります。これは相似を利用して求めます。

ABCPOCに着目すると、BAC=OPC=90°、共通の角ACB=PCOより2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。
その相似比はBC:OC=2:1となります。また、AB:PO=2:1でもあるので
AB=2POAB=2OP
となり、成り立つことがわかります。
頂点Cとその対辺ABに着目した場合も同様に成り立つことを確かめることができます。

鈍角三角形の場合

 Aが鈍角である鈍角三角形ABCについて考えます。
鈍角三角形の場合の垂心と外心の関係
鈍角三角形ABCの垂心Hと外心Oはともに三角形の外部に存在します。
頂点Aとその対辺BCに着目した場合を考えます。
 頂点Aから垂心Hまでの距離は、鈍角三角形の3本の垂線の性質より
AH=2RcosA
となります。
 外心Oから辺BCまでの距離は、OからBCへおろした垂線の足をMとすると線分OMの長さとなります。
OBCに着目すると内角でないほうのBOCは点Aを含まないほうの弧BCの中心角で、大きさはBOC=2Aとなります。
すると、内角BOCの大きさはBOC()=360°2Aとなります。

さらにOBCBO=CO=Rより二等辺三角形なので、OMは辺BCの垂直二等分線かつBOC()の二等分線であるとわかります。
このことから、点Mは辺BCの中点であり、BOM=180°Aとなることがわかります。

OBMに着目すると三角比より
OM=BOcosBOM=Rcos(180°A)=RcosA(cos(180°θ)=cosθ)
となります。

したがって、AH=2OMが成り立つことがわかります。
これは頂点Bとその対辺AC、頂点Cとその対辺ABそれぞれに着目した場合も同様に成り立つことを確かめることができます。


 以上より、いずれの三角形の場合でも
「三角形のある頂点から垂心までの距離は、その頂点の対辺から外心までの距離の2倍である。」
が成り立つことがわかります。

二等辺三角形の外心と垂心

二等辺三角形の垂心と外心
 また、特定の場合の性質として「二等辺三角形の外心と垂心は底辺の垂直二等分線上に存在する」というものがあります。
これは底辺の垂直二等分線が外心が存在している「辺の垂直二等分線」であり、垂心が存在している「頂点から対辺へおろした垂線」でもあるためです。

 では、二等辺三角形の外心と垂心が重なる条件は何でしょうか?

上図のB=Cである二等辺三角形ABCの外心と垂心が重なる可能性のあるのは、Aが鋭角のときだけです。
A=90°のときは外心は辺BCの中点Mと重なり、垂心は頂点Aと重なっているため、外心と垂心が重なることはありません。
また、Aが鈍角のとき、頂点Aを通る中線のAの側を延長した先に垂心が、辺BCの中点Mの側を延長した先に外心があるため、このときも外心と垂心は重なりません。

底辺の垂直二等分線の各線分の長さ
Aが鋭角のとき、頂点Aから垂心Hまでの距離AH2RcosA、外心Oから辺BCまでの距離OMRcosAとなります。また、辺BCの垂直二等分線AMの長さは鋭角三角形の3本の垂線の性質より2RsinBsinCとなります。
外心と垂心が重なるならば、AH+OM=AMが成り立つので
2RcosA+RcosA=2RsinBsinC3cosA=2sinBsinC3cos{180°(B+C)}=2sinBsinC(A=180°(B+C))3cos(180°2B)=2sin2B(B=C)3cos2B=2sin2B3(12sin2B)=2sin2B(cos2θ=12sin2θ)4sin2B-3=0sin2B=34sinB=±32
ここで、二等辺三角形の底角は頂角に関わらず常に鋭角なのでsinB>0となります。
したがって、
sinB=32B=60°(0°<B<90°)
B=C=60°なのでA=60°であり、外心と垂心が一致する三角形は正三角形であることがわかります。

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