座標平面上の2点\text{A}(x_a,y_a),\text{B}(x_b,y_b)間の距離\text{AB}は
\large \text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。
1. x_a=x_bまたはy_a=y_bのとき
1-1. x_a=x_b=0またはy_a=y_b=0のとき
x_a=x_b=0またはy_a=y_b=0のときというのは、2点\text{A, B}が同じ座標軸上にあるときです。
座標軸は数直線なので「数直線上の2点間の距離」より\text{AB}を求めることができます。
座標軸は数直線なので「数直線上の2点間の距離」より\text{AB}を求めることができます。
\text{AB}=|y_b-y_a|\ (=|y_a-y_b|)
となります。
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\text{AB}=|x_b-x_a|\ (=|x_a-x_b|)
となります。
1-2. x_a=x_b\neq0またはy_a=y_b\neq0のとき
x_a=x_b\neq0またはy_a=y_b\neq0のとき、2点\text{A, B}は同じ座標軸上にはありませんが、平行移動することで2点とも同じ座標軸上へ移すことができます。
したがって、1-1.と同様にして2点間の距離を求めることができます。
したがって、1-1.と同様にして2点間の距離を求めることができます。
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すると、\text{AB}は平行移動後の2点\text{A', B'}間の距離\text{A'B'}に等しいので
y_a=y_b=q（ただし、q\neq0）のときも同様にして
\text{AB}=\text{A'B'}=|y_b-y_a|
であることがわかります。
y_a=y_b=q（ただし、q\neq0）のときも同様にして
\text{AB}=|x_b-x_a|
で求められます。
以上より、1.の場合の\text{AB}は
\text{AB}=\begin{cases}|y_b-y_a|&(x_a=x_b)\\[0.5em]|x_b-x_a|&(y_a=y_b)\end{cases}
となります。
2. x_a\neq x_bかつy_a\neq y_bのとき
x_a\neq x_bかつy_a\neq
y_bのとき、座標が(x_a,y_b)または(x_b,y_a)である点\text{C}をとって△\text{ABC}をつくり、三平方の定理を利用して\text{AB}を求めます。
辺\text{AC}の長さは1.より|x_b-x_a|、辺\text{BC}の長さも同様に1.より|y_b-y_a|となります。
x軸とy軸は互いに垂直なので、x軸に平行な辺\text{AC}とy軸に平行な辺\text{BC}も互いに垂直です。
したがって、△\text{ABC}は∠\text{C}が直角の直角三角形であることがわかります。
すると、三平方の定理より
これは1.の場合も満たします。
\text{AB}^2=\text{AC}^2+\text{BC}^2
が成り立つので、この式から辺\text{AB}の長さを求めると
\begin{align*}\text{AB}^2&=|x_b-x_a|^2+|y_b-y_a|\\[0.5em]&=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2&(\because
|x|^2=x^2)\\[0.5em]\text{AB}&=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}&(\because
\text{AB}\geqq0)\end{align*}
となります。これは1.の場合も満たします。
x_a=x_b=p（p:すべての実数）のとき、1.によれば\text{AB}は
\text{AB}=|y_b-y_a|
2.によれば
\begin{align*}\text{AB}&=\sqrt{(k-k)^2+(y_b-y_a)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{0+(y_b-y_a)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{(y_b-y_a)^2}\\[0.5em]&=|y_b-y_a|&(\because
\sqrt{x^2}=|x|)\end{align*}
となり一致します。
これはx_a=x_b=pまたはy_a=y_b=q（p,q:すべての実数）のときに含まれる他の場合においても同様です。
したがって、2点\text{A, B}がどこにあるかにかかわらず、これら2点間の距離\text{AB}は
\large \text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}
と表せることがわかります。
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