座標平面上の2点間の距離 ~ 数学について考えてみる

2024年10月20日

座標平面上の2点間の距離

PLUMBAGO

　座標平面上の2点

A (x_{a}, y_{a}), B (x_{b}, y_{b})

$\text{A}(x_a,y_a),\text{B}(x_b,y_b)$ 間の距離

AB

$\text{AB}$ は

AB = \sqrt{(x_{b} - x_{a})^{2} + (y_{b} - y_{a})^{2}}

$\large \text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$

と表すことができます。

なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。

1. $x_a=x_b$ または $y_a=y_b$ のとき

1-1. $x_a=x_b=0$ または $y_a=y_b=0$ のとき

x_{a} = x_{b} = 0

$x_a=x_b=0$ または

y_{a} = y_{b} = 0

$y_a=y_b=0$ のときというのは、2点

A, B

$\text{A, B}$ が同じ座標軸上にあるときです。
座標軸は数直線なので「数直線上の2点間の距離」より

AB

$\text{AB}$ を求めることができます。

x_{a} = x_{b} = 0

$x_a=x_b=0$ のとき、2点

A, B

$\text{A, B}$ はともにy軸上にあり、各点が位置する数直線上の数とはy座標のことなので

AB

$\text{AB}$ は

AB = | y_{b} - y_{a} | (= | y_{a} - y_{b} |)

$\text{AB}=|y_b-y_a|\ (=|y_a-y_b|)$

となります。

y_{a} = y_{b} = 0

$y_a=y_b=0$ のとき、2点

A, B

$\text{A, B}$ はともにx軸上にあり、各点が位置する数直線上の数とはx座標のことなので

AB

$\text{AB}$ は

AB = | x_{b} - x_{a} | (= | x_{a} - x_{b} |)

$\text{AB}=|x_b-x_a|\ (=|x_a-x_b|)$

となります。

1-2. $x_a=x_b\neq0$ または $y_a=y_b\neq0$ のとき

x_{a} = x_{b} \neq 0

$x_a=x_b\neq0$ または

y_{a} = y_{b} \neq 0

$y_a=y_b\neq0$ のとき、2点

A, B

$\text{A, B}$ は同じ座標軸上にはありませんが、平行移動することで2点とも同じ座標軸上へ移すことができます。
したがって、1-1.と同様にして2点間の距離を求めることができます。

x座標またはy座標が等しい2点間の距離は平行移動すると同じ座標軸上の2点間の距離で考えられる

上図のように

x_{a} = x_{b} = p

$x_a=x_b=p$ （ただし、

p \neq 0

$p\neq0$ ）のとき、線分

AB

$\text{AB}$ はy軸に平行なので2点ともx軸方向に

- p

$-p$ だけ平行移動するとy軸上に移すことができます。

すると、

AB

$\text{AB}$ は平行移動後の2点

A', B'

$\text{A', B'}$ 間の距離

A'B'

$\text{A'B'}$ に等しいので

AB = A'B' = | y_{b} - y_{a} |

$\text{AB}=\text{A'B'}=|y_b-y_a|$

であることがわかります。

y_{a} = y_{b} = q

$y_a=y_b=q$ （ただし、

q \neq 0

$q\neq0$ ）のときも同様にして

AB = | x_{b} - x_{a} |

$\text{AB}=|x_b-x_a|$

で求められます。

　以上より、1.の場合の

AB

$\text{AB}$ は

AB = {\begin{cases} | y_{b} - y_{a} | & (x_{a} = x_{b}) \\ | x_{b} - x_{a} | & (y_{a} = y_{b}) \end{cases}

$\text{AB}=\begin{cases}|y_b-y_a|&(x_a=x_b)\\[0.5em]|x_b-x_a|&(y_a=y_b)\end{cases}$

となります。

2. $x_a\neq x_b$ かつ $y_a\neq y_b$ のとき

x_{a} \neq x_{b}

$x_a\neq x_b$ かつ

y_{a} \neq y_{b}

$y_a\neq y_b$ のとき、座標が

(x_{a}, y_{b})

$(x_a,y_b)$ または

(x_{b}, y_{a})

$(x_b,y_a)$ である点

C

$\text{C}$ をとって

△ ABC

$△\text{ABC}$ をつくり、三平方の定理を利用して

AB

$\text{AB}$ を求めます。

$三平方の定理を利用して\text{AB}を求める$

ここでは点

C

$\text{C}$ の座標を

(x_{b}, y_{a})

$(x_b,y_a)$ とします。
辺

AC

$\text{AC}$ の長さは1.より

| x_{b} - x_{a} |

$|x_b-x_a|$ 、辺

BC

$\text{BC}$ の長さも同様に1.より

| y_{b} - y_{a} |

$|y_b-y_a|$ となります。
x軸とy軸は互いに垂直なので、x軸に平行な辺

AC

$\text{AC}$ とy軸に平行な辺

BC

$\text{BC}$ も互いに垂直です。

したがって、

△ ABC

$△\text{ABC}$ は

∠ C

$∠\text{C}$ が直角の直角三角形であることがわかります。

すると、三平方の定理より

{AB}^{2} = {AC}^{2} + {BC}^{2}

$\text{AB}^2=\text{AC}^2+\text{BC}^2$

が成り立つので、この式から辺

AB

$\text{AB}$ の長さを求めると

\begin{aligned} {AB}^{2} & = | x_{b} - x_{a} |^{2} + | y_{b} - y_{a} | \\ = (x_{b} - x_{a})^{2} + (y_{b} - y_{a})^{2} & (∵ | x |^{2} = x^{2}) \\ AB & = \sqrt{(x_{b} - x_{a})^{2} + (y_{b} - y_{a})^{2}} & (∵ AB ≧ 0) \end{aligned}

$\begin{align*}\text{AB}^2&=|x_b-x_a|^2+|y_b-y_a|\\[0.5em]&=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2&(\because |x|^2=x^2)\\[0.5em]\text{AB}&=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}&(\because \text{AB}\geqq0)\end{align*}$

となります。
これは1.の場合も満たします。

x_{a} = x_{b} = p

$x_a=x_b=p$ （

p :

$p:$ すべての実数）のとき、1.によれば

AB

$\text{AB}$ は

AB = | y_{b} - y_{a} |

$\text{AB}=|y_b-y_a|$

2.によれば

\begin{aligned} AB & = \sqrt{(k - k)^{2} + (y_{b} - y_{a})^{2}} \\ = \sqrt{0 + (y_{b} - y_{a})^{2}} \\ = \sqrt{(y_{b} - y_{a})^{2}} \\ = | y_{b} - y_{a} | & (∵ \sqrt{x^{2}} = | x |) \end{aligned}

$\begin{align*}\text{AB}&=\sqrt{(k-k)^2+(y_b-y_a)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{0+(y_b-y_a)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{(y_b-y_a)^2}\\[0.5em]&=|y_b-y_a|&(\because \sqrt{x^2}=|x|)\end{align*}$

となり一致します。

これは