座標平面上の2点$\text{A}(x_a,y_a),\text{B}(x_b,y_b)$間の距離$\text{AB}$は
\[\large \text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}\]
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。
1. $x_a=x_b$または$y_a=y_b$のとき
1-1. $x_a=x_b=0$または$y_a=y_b=0$のとき
$x_a=x_b=0$または$y_a=y_b=0$のときというのは、2点$\text{A, B}$が同じ座標軸上にあるときです。
座標軸は数直線なので「数直線上の2点間の距離」より$\text{AB}$を求めることができます。
座標軸は数直線なので「数直線上の2点間の距離」より$\text{AB}$を求めることができます。
\[\text{AB}=|y_b-y_a|\ (=|y_a-y_b|)\]
となります。
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\[\text{AB}=|x_b-x_a|\ (=|x_a-x_b|)\]
となります。
1-2. $x_a=x_b\neq0$または$y_a=y_b\neq0$のとき
$x_a=x_b\neq0$または$y_a=y_b\neq0$のとき、2点$\text{A, B}$は同じ座標軸上にはありませんが、平行移動することで2点とも同じ座標軸上へ移すことができます。
したがって、1-1.と同様にして2点間の距離を求めることができます。
したがって、1-1.と同様にして2点間の距離を求めることができます。
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すると、$\text{AB}$は平行移動後の2点$\text{A', B'}$間の距離$\text{A'B'}$に等しいので
$y_a=y_b=q$（ただし、$q\neq0$）のときも同様にして
\[\text{AB}=\text{A'B'}=|y_b-y_a|\]
であることがわかります。
$y_a=y_b=q$（ただし、$q\neq0$）のときも同様にして
\[\text{AB}=|x_b-x_a|\]
で求められます。
以上より、1.の場合の$\text{AB}$は
\[\text{AB}=\begin{cases}|y_b-y_a|&(x_a=x_b)\\[0.5em]|x_b-x_a|&(y_a=y_b)\end{cases}\]
となります。
2. $x_a\neq x_b$かつ$y_a\neq y_b$のとき
$x_a\neq x_b$かつ$y_a\neq
y_b$のとき、座標が$(x_a,y_b)$または$(x_b,y_a)$である点$\text{C}$をとって$△\text{ABC}$をつくり、三平方の定理を利用して$\text{AB}$を求めます。
辺$\text{AC}$の長さは1.より$|x_b-x_a|$、辺$\text{BC}$の長さも同様に1.より$|y_b-y_a|$となります。
x軸とy軸は互いに垂直なので、x軸に平行な辺$\text{AC}$とy軸に平行な辺$\text{BC}$も互いに垂直です。
したがって、$△\text{ABC}$は$∠\text{C}$が直角の直角三角形であることがわかります。
すると、三平方の定理より
これは1.の場合も満たします。
\[\text{AB}^2=\text{AC}^2+\text{BC}^2\]
が成り立つので、この式から辺$\text{AB}$の長さを求めると
\begin{align*}\text{AB}^2&=|x_b-x_a|^2+|y_b-y_a|\\[0.5em]&=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2&(\because
|x|^2=x^2)\\[0.5em]\text{AB}&=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}&(\because
\text{AB}\geqq0)\end{align*}
となります。これは1.の場合も満たします。
$x_a=x_b=p$（$p:$すべての実数）のとき、1.によれば$\text{AB}$は
\[\text{AB}=|y_b-y_a|\]
2.によれば
\begin{align*}\text{AB}&=\sqrt{(k-k)^2+(y_b-y_a)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{0+(y_b-y_a)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{(y_b-y_a)^2}\\[0.5em]&=|y_b-y_a|&(\because
\sqrt{x^2}=|x|)\end{align*}
となり一致します。
これは$x_a=x_b=p$または$y_a=y_b=q$（$p,q:$すべての実数）のときに含まれる他の場合においても同様です。
したがって、2点$\text{A, B}$がどこにあるかにかかわらず、これら2点間の距離$\text{AB}$は
\[\large \text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}\]
と表せることがわかります。
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