座標平面上の2点
A(xa,ya),B(xb,yb)間の距離
ABは
AB=√(xb−xa)2+(yb−ya)2
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。
1. xa=xbまたはya=ybのとき
1-1. xa=xb=0またはya=yb=0のとき
xa=xb=0または
ya=yb=0のときというのは、2点
A, Bが同じ座標軸上にあるときです。
座標軸は数直線なので「
数直線上の2点間の距離」より
ABを求めることができます。
xa=xb=0のとき、2点
A, Bはともにy軸上にあり、各点が位置する数直線上の数とはy座標のことなので
ABは
AB=|yb−ya| (=|ya−yb|)
となります。
ya=yb=0のとき、2点
A, Bはともにx軸上にあり、各点が位置する数直線上の数とはx座標のことなので
ABは
AB=|xb−xa| (=|xa−xb|)
となります。
1-2. xa=xb≠0またはya=yb≠0のとき
xa=xb≠0またはya=yb≠0のとき、2点A, Bは同じ座標軸上にはありませんが、平行移動することで2点とも同じ座標軸上へ移すことができます。
したがって、1-1.と同様にして2点間の距離を求めることができます。
上図のように
xa=xb=p(ただし、
p≠0)のとき、線分
ABはy軸に平行なので2点ともx軸方向に
−pだけ平行移動するとy軸上に移すことができます。
すると、
ABは平行移動後の2点
A', B'間の距離
A'B'に等しいので
AB=A'B'=|yb−ya|
であることがわかります。
ya=yb=q(ただし、
q≠0)のときも同様にして
AB=|xb−xa|
で求められます。
以上より、1.の場合の
ABは
AB={|yb−ya|(xa=xb)|xb−xa|(ya=yb)
となります。
2. xa≠xbかつya≠ybのとき
xa≠xbかつya≠ybのとき、座標が(xa,yb)または(xb,ya)である点Cをとって△ABCをつくり、三平方の定理を利用してABを求めます。
ここでは点
Cの座標を
(xb,ya)とします。
辺
ACの長さは1.より
|xb−xa|、辺
BCの長さも同様に1.より
|yb−ya|となります。
x軸とy軸は互いに垂直なので、x軸に平行な辺
ACとy軸に平行な辺
BCも互いに垂直です。
したがって、△ABCは∠Cが直角の直角三角形であることがわかります。
すると、三平方の定理より
AB2=AC2+BC2
が成り立つので、この式から辺
ABの長さを求めると
AB2=|xb−xa|2+|yb−ya|=(xb−xa)2+(yb−ya)2(∵|x|2=x2)AB=√(xb−xa)2+(yb−ya)2(∵AB≧0)
となります。
これは1.の場合も満たします。
xa=xb=p(
p:すべての実数)のとき、1.によれば
ABは
AB=|yb−ya|
2.によれば
AB=√(k−k)2+(yb−ya)2=√0+(yb−ya)2=√(yb−ya)2=|yb−ya|(∵√x2=|x|)
となり一致します。
これはxa=xb=pまたはya=yb=q(p,q:すべての実数)のときに含まれる他の場合においても同様です。
したがって、2点
A, Bがどこにあるかにかかわらず、これら2点間の距離
ABは
AB=√(xb−xa)2+(yb−ya)2
と表せることがわかります。