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2024年10月20日

座標平面上の2点間の距離

 座標平面上の2点A(xa,ya),B(xb,yb)間の距離AB
AB=(xbxa)2+(ybya)2
と表すことができます。

なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。


1. xa=xbまたはya=ybのとき

1-1. xa=xb=0またはya=yb=0のとき

 xa=xb=0またはya=yb=0のときというのは、2点A, Bが同じ座標軸上にあるときです。
座標軸は数直線なので「数直線上の2点間の距離」よりABを求めることができます。
y軸上の2点間の距離はy座標の差分の絶対値
xa=xb=0のとき、2点A, Bはともにy軸上にあり、各点が位置する数直線上の数とはy座標のことなのでAB
AB=|ybya| (=|yayb|)
となります。
x軸上の2点間の距離はx座標の差分の絶対値
ya=yb=0のとき、2点A, Bはともにx軸上にあり、各点が位置する数直線上の数とはx座標のことなのでAB
AB=|xbxa| (=|xaxb|)
となります。

1-2. xa=xb0またはya=yb0のとき

 xa=xb0またはya=yb0のとき、2点A, Bは同じ座標軸上にはありませんが、平行移動することで2点とも同じ座標軸上へ移すことができます。
したがって、1-1.と同様にして2点間の距離を求めることができます。
x座標またはy座標が等しい2点間の距離は平行移動すると同じ座標軸上の2点間の距離で考えられる
上図のようにxa=xb=p(ただし、p0)のとき、線分ABはy軸に平行なので2点ともx軸方向にpだけ平行移動するとy軸上に移すことができます。
すると、ABは平行移動後の2点A', B'間の距離A'B'に等しいので
AB=A'B'=|ybya|
であることがわかります。
ya=yb=q(ただし、q0)のときも同様にして
AB=|xbxa|
で求められます。

 以上より、1.の場合のAB
AB={|ybya|(xa=xb)|xbxa|(ya=yb)
となります。

2. xaxbかつyaybのとき

 xaxbかつyaybのとき、座標が(xa,yb)または(xb,ya)である点CをとってABCをつくり、三平方の定理を利用してABを求めます。
三平方の定理を利用して\text{AB}を求める
ここでは点Cの座標を(xb,ya)とします。
ACの長さは1.より|xbxa|、辺BCの長さも同様に1.より|ybya|となります。
x軸とy軸は互いに垂直なので、x軸に平行な辺ACとy軸に平行な辺BCも互いに垂直です。
したがって、ABCCが直角の直角三角形であることがわかります。
すると、三平方の定理より
AB2=AC2+BC2
が成り立つので、この式から辺ABの長さを求めると
AB2=|xbxa|2+|ybya|=(xbxa)2+(ybya)2(|x|2=x2)AB=(xbxa)2+(ybya)2(AB0)
となります。
これは1.の場合も満たします。
xa=xb=pp:すべての実数)のとき、1.によればAB
AB=|ybya|
2.によれば
AB=(kk)2+(ybya)2=0+(ybya)2=(ybya)2=|ybya|(x2=|x|)
となり一致します。
これはxa=xb=pまたはya=yb=qp,q:すべての実数)のときに含まれる他の場合においても同様です。
したがって、2点A, Bがどこにあるかにかかわらず、これら2点間の距離AB
AB=(xbxa)2+(ybya)2
と表せることがわかります。

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