座標空間内の2点\text{A}(x_a,y_a,z_a),\text{B}(x_b,y_b,z_b)間の距離\text{AB}は
\large\text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。
1. x,y,z座標のうち少なくとも2つが等しいとき
2つの点のx,y,z座標のうち少なくとも2つが等しいときとは例えばx_a=x_bかつy_a=y_bのようなときのことで、2点\text{A, B}とも適切な平行移動をおこなえば同じ座標軸上に移せるような位置にあります。
このとき「数直線上の2点間の距離」より\text{AB}を求めることができます。
このとき「数直線上の2点間の距離」より\text{AB}を求めることができます。
\text{AB}=|z_b-z_a|
により求めることができます。
同様にしてy_a=y_bかつz_a=z_bのときは、線分\text{AB}はx軸に平行であるので
\text{AB}=|x_b-x_a|
z_a=z_bかつx_a=x_bのときは、線分\text{AB}はy軸に平行であるので
\text{AB}=|y_b-y_a|
となります。
なお、2つの点のx,y,z座標のすべてが等しい、すなわちx_a=x_bかつy_a=y_bかつz_a=z_bのとき、点\text{A, B}は同じ点であるので\text{AB}=0となります。
2. x,y,z座標のうちただ1つが等しいとき
2つの点のx,y,z座標のうちただ1つが等しいときとは例えばx_a=x_bのようなときのことで、2点\text{A, B}とも2つの座標軸を含む平面上にあります。
このとき、「座標平面上の2点間の距離」より\text{AB}を求めることができます。
このとき、「座標平面上の2点間の距離」より\text{AB}を求めることができます。
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\text{AB}=\sqrt{(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}
により求めることができます。
同様にしてy_a=y_bのとき、線分\text{AB}はzx平面上にあるので
\text{AB}=\sqrt{(z_b-z_a)^2+(x_b-x_a)^2}
z_a=z_bのとき、線分\text{AB}はxy平面上にあるので
\text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}
となります。
3. x,y,z座標のいずれも異なるとき
2つの点のx,y,z座標のいずれも異なるときとはx_a\neq x_bかつy_a\neq
y_bかつz_a\neq z_bのときのことです。
このとき、点\text{A, B}のいずれかと1.を満たし、かつもう一方と2.を満たす点\text{C}をとって△\text{ABC}をつくり、三平方の定理を利用して\text{AB}を求めます。
このとき、点\text{A, B}のいずれかと1.を満たし、かつもう一方と2.を満たす点\text{C}をとって△\text{ABC}をつくり、三平方の定理を利用して\text{AB}を求めます。
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辺\text{AC}の長さは1.より|z_a-z_b|、辺\text{BC}の長さは2.より\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}となります。
z軸はxy平面に垂直なので、z軸に平行な辺\text{AC}とxy平面と平行な平面上にある辺\text{BC}も垂直です。
したがって、△\text{ABC}は∠\text{C}が直角である直角三角形であることがわかります。
すると、三平方の定理
これは1.、2.の場合も満たします。
\text{AB}^2=\text{BC}^2+\text{AC}^2
が成り立つので、ここから辺\text{AB}の長さを求めると
\begin{align*}\text{AB}^2&=\bigl(\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}\bigr)^2+|z_a-z_b|^2\\[0.5em]&=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+|z_a-z_b|^2\\[0.5em]&=(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_a-z_b)^2&(\because|x|^2=x^2)\\[0.5em]AB&=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_a-z_b)^2}&(\because \text{AB}>0)\end{align*}
となります。これは1.、2.の場合も満たします。
例えばx_a=x_b=pかつy_a=y_b=q（p,q:すべての実数）のとき、1.によれば\text{AB}は
\text{AB}=|z_b-z_a|
となり、3.によれば
\begin{align*}\text{AB}&=\sqrt{(p-p)^2+(q-q)^2+(z_b-z_a)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{0+0+(z_b-z_a)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{(z_b-z_a)^2}\\[0.5em]&=|z_b-z_a|&(\because
\sqrt{x^2}=|x|)\end{align*}
となり\text{AB}を表す式が一致します。
これはx_a=x_bまたはy_a=y_bまたはz_a=z_bのときに含まれる他の場合においても同様です。
したがって、点\text{A, B}がどこにあるかにかかわらず、これら2点間の距離\text{AB}は
\large \text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}
と表せることがわかります。
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