符号を考慮した長さとは、測る際の基準の点と方向がある長さのことです。基準となる方向と同じ方向に測ったときは正の値をとり、逆の方向に測ったときは負の値をとります。
数直線上の2数a, bそれぞれに位置する点を\text{A, B}としたとき、これら2点間の距離は|b-a|となります。これは\text{A, B}間の符号を考慮した長さの絶対値でもあります。
点\text{A}を基準点とし、数直線方向を正としたときの点\text{B}までの符号を考慮した長さを\overset{\rightharpoonup}{\text{AB}}と表すとすると、
a<bのとき、点\text{A}から点\text{B}まで数直線方向と同じ方向に測ることになるので正の値をとり、その値は
\begin{align*}\overset{\rightharpoonup}{\text{AB}}&=|b-a|\\[0.5em]&=b-a&(\because
a<b\ \Leftrightarrow\ b-a>0)\end{align*}
と表されます。
したがって、a, bの大小関係にかかわらず点\text{A}(a)から点\text{B}(b)までの符号を考慮した長さ\overset{\rightharpoonup}{\text{AB}}は
\overset{\rightharpoonup}{\text{AB}}=b-a
で表されることがわかります。
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