勾配率とは？ 3°刻みで勾配率を求めてみる

　勾配率とは何でしょうか？
その意味と3°刻みでの各角度における勾配率はどうなるのかを調べてみます。

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ホテルの客室番号は？ 欠番のある客室番号の計算

「あるホテルでは客室番号に”$4$”、”$6$”、”$9$”を使用しない。このとき次の問いに答えよ。

(1)小さい順で45番目の客室番号は何番か？

(2)小さい順で300番目の客室番号は何番か？

(3)”$258$”号室の客室は小さい順で何番目か？」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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三角形の面積から長方形の面積を求める

「長方形$ABCD$の外側に点$P$をおく。
$△PAD$の面積が$80$、$△PBC$の面積が$20$のとき、長方形$ABCD$の面積を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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1つの紙を余すことなく切り分けるには？

「縦$91$cm、横$104$cmの紙がある。この紙を余りを出さずに合同なできるだけ大きい以下の四角形に切り分けたい。切り分けた四角形の1辺、または最も長い辺の長さを答えよ。ただし、切れ端を組み合わせて四角形を作ることはできない。

(1)正方形

(2)短辺と長辺の長さの比が$1:2$の長方形

(3)短辺と長辺の長さの比が$2:3$の長方形」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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楕円の焦点から引いた垂線の長さは？

　楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=0\ (a>b>0)$の焦点の1つ$F$から長軸に垂直な直線を引きます。この垂線と楕円の交点を$P$とするとき、線分$FP$の長さはどうなるでしょうか？

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3つの積から3つの数を求める

「3つの異なる整数$A,B,C$がある。$A$と$B$を掛けると$-57$、$B$と$C$を掛けると$21$、$C$と$A$を掛けると$-133$となる。$A,B,C$を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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2次方程式が2解を持つときに重解が含まれるのはなぜ？

　2次方程式の解の存在範囲の問題では2解を持つときという条件には重解も含まれます。

なぜ重解も2解を持つことになるのでしょうか？その理由を考察してみます。

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2つの定点からの距離の和が最小となるのはどこ？

 　2つの定点からの距離の和が最小となる点はどこにあるのでしょうか？

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楕円の2つの焦点からの和と長軸の長さが等しくなるのはなぜなのか？

　楕円の長軸は、その楕円の2つの焦点それぞれから楕円上の点までの距離の和と等しくなります。

これはなぜなのでしょうか？

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楕円の長軸と短軸の各部分の長さは？

　楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$の長軸と短軸はx軸とy軸です。

この長軸と短軸そのものの長さや、焦点で区切られた線分の長さはどうなっているのでしょうか？

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主軸がx軸でもy軸でもない楕円の方程式はどうなる？

　楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$の主軸はx軸とy軸です。

では、主軸がx軸とy軸でない楕円とはどのような方程式で表されるのでしょうか？

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単位ベクトルとは？

　単位ベクトルとは、大きさが$1$のベクトルのことです。

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もう1つのベクトルに垂直なベクトル成分は？

「2つのベクトル$\vec{a},\vec{b}$について、次のようなベクトル成分をもつとき$\vec{a}$の$\vec{b}$に対して垂直なベクトル成分を求めよ。

(1)$\large \vec{a}=(-5,-7),\vec{b}=(-1,2)$

(2)$\large \vec{a}=(4,-1),\vec{b}=(3,4)$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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放物線の接線の方程式

　主軸がx軸の放物線$4ax=y^2$上の点$(p,q)$における接線の方程式は
\[2a(x+p)=qy\]
で表されます。

なぜ、このような式で表されるのでしょうか？

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双曲線の接線の方程式

　双曲線$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$上の点$(p,q)$における接線の方程式は

\[\frac{px}{a^2}-\frac{qy}{b^2}=1\]

となります。

なぜ、このような式で表されるのでしょうか？

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楕円の接線の方程式

　楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上の点$(p,q)$における接線の方程式は

\[\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1\]

となります。

なぜ、このような式になるのでしょうか？

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原点と他の2点からつくられる三角形の面積を求める

　原点$O$と他の2点$A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)$を直線で結んでできる三角形の面積はどのように求めるのでしょうか？

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この点は領域に入る？入らない？

「次の不等式が表す領域内に[]内の点は存在するかどうかを調べよ。

(1)$\large y<3x+2\quad[(-1,3)]$

(2)$\large y>-x^2+3x+4\quad[(3,5)]$

(3)$\large \dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{4}\leqq2\quad[(1,-2)]$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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不等式と領域 どの部分？

「次の不等式の表す領域を図示せよ。

(1)$\large y\geqq -2x+3$

(2)$\large y<x^2+4x+1$

(3)$\large x^2+y^2<4$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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解から2次方程式を求める

「次の解のみを持つ2次方程式を求めよ。

(1)$\large x=0,3$

(2)$\large x=\pm5$

(3)$\large x=2$

(4)$\large x=2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}$

(5)$\large x=1+\sqrt{3},3-\sqrt{3}$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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1次不定方程式の整数解を求める(1)

「次の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

(1)$\large 2x-y=3$

(2)$\large 3x+4y=2$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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