楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上の点$(p,q)$における接線の方程式は
\[\large\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1\]
となります。
なぜ、このような式になるのでしょうか？
円の接線から求める
$X=\dfrac{x}{a},Y=\dfrac{y}{b}$とおくと
このことから、楕円は円をx軸方向に$a$倍、y軸方向に$b$倍一様に引きのばしたものであることがわかります。であれば楕円の接線も円の接線に同様の変形を加えたものと考えられます。
\[X^2+Y^2=1\]
となり、円の方程式となります。
楕円上の点$(p,q)$は円$X^2+Y^2=1$上では$\dfrac{p}{a}=P,\dfrac{q}{b}=Q$、すなわち$(P,Q)$となるので、この点を通る接線の方程式は
\[PX+QY=1\]
となります。
$X,Y,P,Q$を$x,y,p,q$に戻すと
\begin{align*}\frac{p}{a}\cdot\frac{x}{a}+\frac{q}{b}\cdot\frac{y}{b}&=1\\[0.5em]\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}&=1\end{align*}
となります。
微分を利用する
楕円の方程式を変形し、$y$について解きます。ただし$a,b>0$とします。
\begin{align*}\frac{y^2}{b^2}&=1-\frac{x^2}{a^2}
\tag1\\[0.5em]y^2&=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\\[0.5em]y&=\pm
b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\\[0.5em]&=\pm
b\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^\frac{1}{2}\end{align*}
となるので、
\[\left\{\quad\begin{aligned}y<0のとき\\
y&=-b\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^\frac{1}{2}\\[1em]y\geqq0のとき\\
y&=b\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^\frac{1}{2}\end{aligned}\right.\]
のようにyの正の部分と負の部分で2つに分割できます。
これを$x$で微分すると
\begin{align*}y'&=\pm
b\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)'\cdot\frac{1}{2}\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\\[0.5em]&=\pm
b\left(-\frac{x}{a^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\\[0.5em]&=\mp\cfrac{\cfrac{bx}{a^2}}{\sqrt{1-\cfrac{x^2}{a^2}}}\\[0.5em]&=\mp\cfrac{bx}{a^2\sqrt{1-\cfrac{x^2}{a^2}}}\end{align*}
ここで、$(1)$より
\begin{align*}y'&=\mp\cfrac{bx}{a^2\sqrt{\cfrac{y^2}{b^2}}}\\[0.5em]&=\mp\cfrac{bx}{a^2\left|\cfrac{y}{b}\right|}\\[0.5em]&=\mp\frac{b^2x}{a^2|y|}\end{align*}
つまり、
\[\left\{\quad\begin{aligned}y<0のとき\\
y'&=\frac{b^2x}{a^2(-y)}=-\frac{b^2x}{a^2y}\\[1em]y\geqq0のとき\\
y'&=-\frac{b^2x}{a^2y}\end{aligned}\right.\]
となるので、$y$の範囲によらず$y'=-\dfrac{b^2x}{a^2y}$で表せます。
楕円上の点$(p,q)$における接線の傾きは
\[y'(p,q)=-\frac{b^2p}{a^2q}\]
なので、楕円上の点$(p,q)$における接線の方程式は
\[y-q=-\frac{b^2p}{a^2q}(x-p)\]
となります。これを変形すると
\begin{align*}(y-q)\cdot\frac{q}{b^2}&=-\frac{b^2p}{a^2q}(x-p)\cdot\frac{q}{b^2}\\[0.5em]\frac{qy}{b^2}-\frac{q^2}{b^2}&=-\frac{px}{a^2}+\frac{p^2}{a^2}\\[0.5em]\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}&=\frac{p^2}{a^2}+\frac{q^2}{b^2}\\[0.5em]&=1\\
&\left(\because(p,q)は楕円上の点なので\frac{p^2}{a^2}+\frac{q^2}{b^2}=1\right)\end{align*}
したがって、楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上の点$(p,q)$における接線の方程式は
\[\large\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1\]
で表されることがわかります。
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