\[\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1\]
となります。
なぜ、このような式になるのでしょうか？
円の接線から求める
$X=\dfrac{x}{a},Y=\dfrac{y}{b}$とおくと
\[X^2+Y^2=1\]
となり、円の方程式となります。
楕円上の点$(p,q)$は円$X^2+Y^2=1$上では$\dfrac{p}{a}=P,\dfrac{q}{b}=Q$、すなわち$(P,Q)$となるので、この点を通る接線の方程式は
\[PX+QY=1\]
となります。$X,Y,P,Q$を$x,y,p,q$に戻すと
\begin{align*}\frac{p}{a}\cdot\frac{x}{a}+\frac{q}{b}\cdot\frac{y}{b}&=1\\[0.5em]\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}&=1\end{align*}
となります。微分を利用する
楕円の方程式を変形し、$y$について解きます。ただし$a,b>0$とします。
\begin{align*}\frac{y^2}{b^2}&=1-\frac{x^2}{a^2} \tag1\\[0.5em]y^2&=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\\[0.5em]y&=\pm
b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\\[0.5em]&=\pm
b\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^\frac{1}{2}\end{align*}
となるので、
\[\left\{\quad\begin{aligned}y<0のとき\\
y&=-b\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^\frac{1}{2}\\[1em]y\geqq0のとき\\
y&=b\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^\frac{1}{2}\end{aligned}\right.\]
のようにyの正の部分と負の部分で2つに分割できます。
これを$x$で微分すると
\begin{align*}y'&=\pm
b\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)'\cdot\frac{1}{2}\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\\[0.5em]&=\pm
b\left(-\frac{x}{a^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\\[0.5em]&=\mp\cfrac{\cfrac{bx}{a^2}}{\sqrt{1-\cfrac{x^2}{a^2}}}\\[0.5em]&=\mp\cfrac{bx}{a^2\sqrt{1-\cfrac{x^2}{a^2}}}\end{align*}
ここで、(1)より
\begin{align*}y'&=\mp\cfrac{bx}{a^2\sqrt{\cfrac{y^2}{b^2}}}\\[0.5em]&=\mp\cfrac{bx}{a^2\left|\cfrac{y}{b}\right|}\\[0.5em]&=\mp\frac{b^2x}{a^2|y|}\end{align*}
つまり、
\[\left\{\quad\begin{aligned}y<0のとき\\
y'&=\frac{b^2x}{-a^2y}=-\frac{b^2x}{a^2y}\\[1em]y\geqq0のとき\\
y'&=-\frac{b^2x}{a^2y}\end{aligned}\right.\]
となるので、$y$の範囲によらず$y'=-\dfrac{b^2x}{a^2y}$で表せます。
楕円上の点$(p,q)$における接線の傾きは
\[y'(p,q)=-\frac{b^2p}{a^2q}\]
なので、楕円上の点$(p,q)$における接線の方程式は
\[y-q=-\frac{b^2p}{a^2q}(x-p)\]
となります。これを変形すると
\begin{align*}(y-q)\cdot\frac{q}{b^2}&=-\frac{b^2p}{a^2q}(x-p)\cdot\frac{q}{b^2}\\[0.5em]\frac{qy}{b^2}-\frac{q^2}{b^2}&=-\frac{px}{a^2}+\frac{p^2}{a^2}\\[0.5em]\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}&=\frac{p^2}{a^2}+\frac{q^2}{b^2}\\[0.5em]&=1\\ &\left(\because(p,q)は楕円上の点なので\frac{p^2}{a^2}+\frac{q^2}{b^2}=1\right)\end{align*}
したがって、楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上の点$(p,q)$における接線の方程式は
\[\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1\]
で表されることがわかります。
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