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2022年9月3日

解から2次方程式を求める

「次の解のみを持つ2次方程式を求めよ。

(1)\large x=0,3

(2)\large x=\pm5

(3)\large x=2

(4)\large x=2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}

(5)\large x=1+\sqrt{3},3-\sqrt{3}

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

 2次方程式を因数分解して(x-a)(x-b)=0となるとき、x-a=0またはx-b=0であることからx=a,bと解を求めることができます。
このことを利用して解から2次方程式を求めることができます。

(1)x=0,3

 x=0またはx-3=0であるということから
x(x-3)=0
という方程式になることがわかります。これを展開すると
x^2-3x=0
となります。

(2)x=\pm5

 (1)と同様にすれば、x-(-5)=x+5=0またはx-5=0であるということから
(x+5)(x-5)=0


という方程式になることがわかります。これを展開すると
x^2-25=0

となります。

 \pmがつく解の場合はこのような解き方もあります。
両辺を2乗して
\begin{align*}x^2&=25\\ \\ x^2-25&=0\end{align*}


となります。


(3)x=2

 解が1つだけ(重解)のときはそのまま2乗してはいけません。移項してから2乗します。
\begin{align*}x-2&=0\\ \\ (x-2)^2&=0\\ \\ x^2-4x+4&=0\end{align*}
となります。

そのまま2乗してはいけないのは、x=-2をそのまま2乗したものと同じ形になる、すなわち(2)と同様にx=\pm2を解に持つ2次方程式を求めることになってしまうためです。


(4)x=2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}

 これは2つの解をまとめて書くとx=2\pm\sqrt{3}となります。
(1)と同様に解くこともできますが、\pmがついているので(2)の2つ目の方法で解いてみます。

2乗する前に\pmがついているものだけ残るように移項します。
\begin{align*}x-2&=\pm\sqrt{3}\\ \\ (x-2)^2&=3\\ \\ x^2-4x+4&=3\\ \\ x^2-4x+1&=0\end{align*}


となります。


(5)x=1+\sqrt{3},3-\sqrt{3}

 (4)と似ていますが、こちらは整数の部分が違うので\pmを使ってまとめることはできません。
なので、(1)の方法で解きます。

x-(1+\sqrt{3})=0またはx-(3-\sqrt{3})=0ということなので、
\left\{x-(1+\sqrt{3})\right\}\left\{x-(3-\sqrt{3})\right\}=0


という方程式になることがわかります。これを展開すると
\begin{align*}x^2-\left\{(1+\sqrt{3})+(3-\sqrt{3})\right\}x+(1+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})&=0\\ \\ x^2-4x+2\sqrt{3}&=0\end{align*}

となります。


関連:2次方程式を解く(1)

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