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2022年9月3日

解から2次方程式を求める

「次の解のみを持つ2次方程式を求めよ。

(1)x=0,3x=0,3

(2)x=±5x=±5

(3)x=2x=2

(4)x=23,2+3x=23,2+3

(5)x=1+3,33x=1+3,33

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

 2次方程式を因数分解して(xa)(xb)=0(xa)(xb)=0となるとき、xa=0xa=0またはxb=0xb=0であることからx=a,bx=a,bと解を求めることができます。
このことを利用して解から2次方程式を求めることができます。

(1)x=0,3x=0,3

 x=0x=0またはx3=0x3=0であるということから
x(x3)=0x(x3)=0
という方程式になることがわかります。これを展開すると
x23x=0x23x=0
となります。

(2)x=±5x=±5

 (1)と同様にすれば、x(5)=x+5=0x(5)=x+5=0またはx5=0x5=0であるということから
(x+5)(x5)=0(x+5)(x5)=0
という方程式になることがわかります。これを展開すると
x225=0x225=0
となります。

 ±±がつく解の場合はこのような解き方もあります。
両辺を2乗して
x2=25x225=0x2=25x225=0
となります。


(3)x=2x=2

 解が1つだけ(重解)のときはそのまま2乗してはいけません。移項してから2乗します。
x2=0(x2)2=0x24x+4=0x2=0(x2)2=0x24x+4=0
となります。

そのまま2乗してはいけないのは、x=2x=2をそのまま2乗したものと同じ形になる、すなわち(2)と同様にx=±2x=±2を解に持つ2次方程式を求めることになってしまうためです。


(4)x=23,2+3x=23,2+3

 これは2つの解をまとめて書くとx=2±3x=2±3となります。
(1)と同様に解くこともできますが、±±がついているので(2)の2つ目の方法で解いてみます。

2乗する前に±±がついているものだけ残るように移項します。
x2=±3(x2)2=3x24x+4=3x24x+1=0x2=±3(x2)2=3x24x+4=3x24x+1=0
となります。


(5)x=1+3,33x=1+3,33

 (4)と似ていますが、こちらは整数の部分が違うので±±を使ってまとめることはできません。
なので、(1)の方法で解きます。

x(1+3)=0x(1+3)=0またはx(33)=0x(33)=0ということなので、
{x(1+3)}{x(33)}=0{x(1+3)}{x(33)}=0
という方程式になることがわかります。これを展開すると
x2{(1+3)+(33)}x+(1+3)(33)=0x24x+23=0x2{(1+3)+(33)}x+(1+3)(33)=0x24x+23=0
となります。


関連:2次方程式を解く(1)

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