1つの紙を余すことなく切り分けるには？

「縦$91$cm、横$104$cmの紙がある。この紙を余りを出さずに合同なできるだけ大きい以下の四角形に切り分けたい。切り分けた四角形の1辺、または最も長い辺の長さを答えよ。ただし、切れ端を組み合わせて四角形を作ることはできない。

(1)正方形

(2)短辺と長辺の長さの比が$1:2$の長方形

(3)短辺と長辺の長さの比が$2:3$の長方形」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　紙の縦と横をそれぞれ均等な間隔で切り分けたいということなので、縦と横のそれぞれの長さをちょうど割り切ることができる数を探すことになります。つまりこれは約数の問題です。

(1)

　正方形はすべての辺の長さが等しいので、紙の縦と横は同じ長さで切り分けることになります。つまり、正方形の1辺の長さは縦と横の長さである$91$と$104$のどちらも割り切ることができる公約数ということです。

そして$91$と$104$の最大公約数であれば最も大きな正方形に切り分けることができます。

ユークリッドの互除法より
\begin{align*}104\div\underline{91}&=1\ 余り\underline{13}\\ \\ 91\div\underline{13}&=7\end{align*}
$91$と$104$の最大公約数は$13$です。

よって、正方形の1辺の長さは$13$cmとなります。

(2)

　長方形の短辺と長辺の長さの比が$1:2$なので、短辺の長さを2倍して1辺が長辺の長さの正方形を考えます。このとき短辺と同じ向きの紙の1辺も2倍します。すると、(1)と同様の方法で解くことができます。
2倍してもよいのは、$A$を割り切る$B$を探すのと$2A$を割り切る$2B$を探すのは分数で言えば
\[\frac{A}{B}=\frac{2A}{2B}\]
のように約分する前と後の関係なので割り切れるときの$B$は一致するためです。

長方形には向きがあるので2通りの切り分け方で比較して長辺のより長い方を答えとします。

紙の縦側と短辺を揃えるとき

　紙の縦側と短辺を揃えるとき、縦の長さを2倍します。
したがって、$182$と$104$の最大公約数を探すことになります。

ユークリッドの互除法より

\begin{align*}182\div\underline{104}&=1\ 余り\underline{78}\\ \\ 104\div\underline{78}&=1\ 余り\underline{26}\\ \\ 78\div\underline{26}&=3\end{align*}

$182$と$104$の最大公約数は$26$です。

紙の横側と短辺を揃えるとき

　紙の横側と短編を揃えるとき、横の長さを2倍します。
したがって、$91$と$208$の最大公約数を探すことになります。

ユークリッドの互除法より

\begin{align*}208\div\underline{91}&=2\ 余り\underline{26}\\ \\ 91\div\underline{26}&=3\ 余り\underline{13}\\ \\ 26\div\underline{13}&=2\end{align*}

$91$と$208$の最大公約数は$13$です。

　以上より、大きいのは$26$なので長方形の長辺の長さは$26$cmとなります。

(3)

　(2)と同様の方法で解きます。
長方形の短辺と長辺の長さの比が$2:3$なので、短辺の長さを3倍、長辺の長さを2倍して正方形に変形します。このとき、短辺と同じ向きの紙の辺を3倍、長辺と同じ向きの紙の辺を2倍して最大公約数を探します。

紙の縦側と長辺を揃えるとき

　紙の縦の長さを2倍、横の長さを3倍するので、$182$と$312$の最大公約数を探します。

ユークリッドの互除法より

\begin{align*}312\div\underline{182}&=1\ 余り\underline{130}\\ \\ 182\div\underline{130}&=1\ 余り\underline{52}\\ \\ 130\div\underline{52}&=2\ 余り\underline{26}\\ \\ 52\div\underline{26}&=2\end{align*}

$182$と$312$の最大公約数は$26$です。

紙の横側と長辺を揃えるとき

　紙の縦の長さを3倍、横の長さを2倍するので、$273$と$208$の最大公約数を探します。

ユークリッドの互除法より

\begin{align*}273\div\underline{208}&=1\ 余り\underline{65}\\ \\ 208\div\underline{65}&=3\ 余り\underline{13}\\ \\ 65\div\underline{13}&=5\end{align*}

$273$と$208$の最大公約数は$13$です。

　以上より、大きいのは$26$なので正方形の1辺の長さは$26$cmとなります。

そして、正方形の1辺の長さは求める長方形の長辺の長さの2倍なので、長辺の長さは$13$cmとなります。

関連：ユークリッドの互除法　最大公約数を求める方法