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2022年9月11日

もう1つのベクトルに垂直なベクトル成分は?

「2つのベクトル\vec{a},\vec{b}について、次のようなベクトル成分をもつとき\vec{a}\vec{b}に対して垂直なベクトル成分を求めよ。

(1)\large\vec{a}=(-5,-7),\vec{b}=(-1,2)

(2)\large\vec{a}=(4,-1),\vec{b}=(3,4)

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

 もう1つのベクトルと垂直な成分を求めるにはベクトルの内積を利用します。
\vec{a}\vec{b}に平行なベクトルと\vec{b}に垂直なベクトルを合成してできたベクトルと考えます。

aベクトルをbベクトルに平行な成分と垂直な成分に分解
\vec{a}\vec{b}のなす角が\thetaとすると、\vec{a}\vec{b}に平行な成分は|\vec{a}|\cos\thetaで表されます。
ここでいう成分とは、座標平面のx軸、y軸の向きを基準にしたベクトル成分のことではなく、\vec{b}の向きを基準にしたもののことです。

ここで、ベクトルの内積の定義式より\cos\theta
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}


となるので、\vec{b}に平行な成分は
|\vec{a}|\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}

と書けます。

 この成分に\vec{b}の向きを付け加えれば\vec{b}に平行なベクトルを表すことができます。そこで登場するのが\vec{b}の単位ベクトルです。
単位ベクトルは大きさが1のベクトルです。これに実数を掛ければ同じ向きを持つ任意のベクトルをつくることができます。
\vec{b}と同じ向きを持つ単位ベクトルをつくるには\vec{b}を自身の大きさで割れば良いので\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}となります。

したがって、\vec{b}に平行なベクトルは
\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\cdot\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}
となります。
\vec{a}\vec{b}に平行なベクトルと\vec{b}に垂直なベクトルの和として考えているので、\vec{a}から\vec{b}に平行なベクトルを引いた
\vec{a}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}
\vec{a}\vec{b}に垂直なベクトルとなります。

 これを利用して問題を解きます。

(1)\vec{a}=(-5,-7),\vec{b}=(-1,2)

 内積と\vec{b}の大きさはそれぞれ
\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=(-5)\cdot(-1)+(-7)\cdot2\\[0.5em]&=-9\\[1.5em]|\vec{b}|&=\sqrt{(-1)^2+2^2}\\[0.5em]&=\sqrt{5}\end{align*}
となるので、\vec{a}\vec{b}に垂直なベクトル成分は
\begin{align*}\vec{a}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}&=(-5,-7)-\frac{-9}{(\sqrt{5})^2}(-1,2)\\[0.5em]&=(-5,-7)+\frac{9}{5}(-1,2)\\[0.5em]&=(-5,-7)+\left(-\frac{9}{5},\frac{18}{5}\right)\\[0.5em]&=\left(-\frac{34}{5},-\frac{17}{5}\right)\end{align*}
となります。

(2)\vec{a}=(4,-1),\vec{b}=(3,4)

 内積と\vec{b}の大きさはそれぞれ
\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=4\cdot3+(-1)\cdot4\\[0.5em]&=8\\[1.5em]|\vec{b}|&=\sqrt{3^2+4^2}\\[0.5em]&=\sqrt{25}\\[0.5em]&=5\end{align*}
となるので、\vec{a}\vec{b}に垂直なベクトル成分は
\begin{align*}\vec{a}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}&=(4,-1)-\frac{8}{5^2}(3,4)\\[0.5em]&=(4,-1)-\left(\frac{24}{25},\frac{32}{25}\right)\\[0.5em]&=\left(\frac{76}{25},-\frac{57}{25}\right)\end{align*}
となります。
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