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2022年9月11日

もう1つのベクトルに垂直なベクトル成分は?

「2つのベクトルa,ba,bについて、次のようなベクトル成分をもつときaabbに対して垂直なベクトル成分を求めよ。

(1)a=(5,7),b=(1,2)a=(5,7),b=(1,2)

(2)a=(4,1),b=(3,4)a=(4,1),b=(3,4)

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

 もう1つのベクトルと垂直な成分を求めるにはベクトルの内積を利用します。
aabbに平行なベクトルとbbに垂直なベクトルを合成してできたベクトルと考えます。

aベクトルをbベクトルに平行な成分と垂直な成分に分解
aabbのなす角がθθとすると、aabbに平行な成分は|a|cosθ|a|cosθで表されます。
ここでいう成分とは、座標平面のx軸、y軸の向きを基準にしたベクトル成分のことではなく、bbの向きを基準にしたもののことです。

ここで、ベクトルの内積の定義式よりcosθcosθ
cosθ=ab|a||b|cosθ=ab|a||b|
となるので、bbに平行な成分は
|a|cosθ=ab|b||a|cosθ=ab|b|
と書けます。

 この成分にbbの向きを付け加えればbbに平行なベクトルを表すことができます。そこで登場するのがbbの単位ベクトルです。
単位ベクトルは大きさが11のベクトルです。これに実数を掛ければ同じ向きを持つ任意のベクトルをつくることができます。
bbと同じ向きを持つ単位ベクトルをつくるにはbbを自身の大きさで割れば良いのでb|b|b|b|となります。

したがって、bbに平行なベクトルは
ab|b|b|b|=ab|b|2bab|b|b|b|=ab|b|2b
となります。
aabbに平行なベクトルとbbに垂直なベクトルの和として考えているので、aaからbbに平行なベクトルを引いた
aab|b|2baab|b|2b
aabbに垂直なベクトルとなります。

 これを利用して問題を解きます。

(1)a=(5,7),b=(1,2)a=(5,7),b=(1,2)

 内積とbbの大きさはそれぞれ
ab=(5)(1)+(7)2=9|b|=(1)2+22=5ab=(5)(1)+(7)2=9|b|=(1)2+22=5
となるので、aabbに垂直なベクトル成分は
aab|b|2b=(5,7)9(5)2(1,2)=(5,7)+95(1,2)=(5,7)+(95,185)=(345,175)aab|b|2b=(5,7)9(5)2(1,2)=(5,7)+95(1,2)=(5,7)+(95,185)=(345,175)
となります。

(2)a=(4,1),b=(3,4)a=(4,1),b=(3,4)

 内積とbbの大きさはそれぞれ
ab=43+(1)4=8|b|=32+42=25=5ab=43+(1)4=8|b|=32+42=25=5
となるので、aabbに垂直なベクトル成分は
aab|b|2b=(4,1)852(3,4)=(4,1)(2425,3225)=(7625,5725)aab|b|2b=(4,1)852(3,4)=(4,1)(2425,3225)=(7625,5725)
となります。
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