楕円の焦点から引いた垂線の長さは？

　楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=0\ (a>b>0)$の焦点の1つ$F$から長軸に垂直な直線を引きます。この垂線と楕円の交点を$P$とするとき、線分$FP$の長さはどうなるでしょうか？

　まずは楕円の特徴についておさらいします。

楕円の定義は「2つの焦点からの距離の和が一定となる点の軌跡」です。この2つの焦点からの距離の和は長軸の長さ$2a$と等しくなります。

また、焦点から短軸の一端までの距離が長軸の長さの半分となるため、三平方の定理を利用して求めると焦点間の距離は$2\sqrt{a^2-b^2}$となります。

以上を利用して線分$FP$の長さを求めます。

　線分$F'P$を引き直角三角形$FF'P$をつくります。

$FP$と$F'P$の長さの和は2つの焦点からの距離の和となるため$2a$となります。したがって、$FP$の長さを$x$とすれば$F'P$の長さは$2a-x$となります。

そして$FF'$の長さは焦点間の距離なので$2\sqrt{a^2-b^2}$です。

これらのことから、三平方の定理より

\begin{align*}PF'^2&=PF^2+FF'^2\\ \\ (2a-x)^2&=x^2+\left(2\sqrt{a^2-b^2}\right)^2\\ \\ 4a^2-4ax+x^2&=x^2+4(a^2-b^2)\\ \\ 4ax&=4b^2\\ \\ x&=\frac{b^2}{a}\end{align*}

となるので、$PF=\dfrac{b^2}{a}$であることがわかります。

　ちなみに$b>a>0$のときは長軸の長さが$2b$、焦点間の距離が$2\sqrt{b^2-a^2}$となります。

同様に考えれば上図のように$QF=y$とおけば$QF'=2b-y$となるから

\begin{align*}QF'^2&=QF^2+FF'^2\\ \\ (2b-y)^2&=y^2+\left(2\sqrt{b^2-a^2}\right)^2\\ \\ 4b^2-4by+y^2&=y^2+4(b^2-a^2)\\ \\ 4by&=4a^2\\ \\ y&=\frac{a^2}{b}\end{align*}

$QF=\dfrac{a^2}{b}$となることがわかります。

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