楕円の焦点から引いた垂線の長さは？

　楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=0\ (a>b>0)$の焦点の1つ$\text{F}$から長軸に垂直な直線を引きます。この垂線と楕円の交点を$\text{P}$とするとき、線分$\text{FP}$の長さはどうなるでしょうか？

　まずは楕円の特徴についておさらいします。
楕円の定義は「2つの焦点からの距離の和が一定となる点の軌跡」です。この2つの焦点からの距離の和は長軸の長さ$2a$と等しくなります。

また、焦点から短軸の一端までの距離が長軸の長さの半分となるため、三平方の定理を利用して求めると焦点間の距離は$2\sqrt{a^2-b^2}$となります。

以上を利用して線分$\text{FP}$の長さを求めます。

　線分$\text{F'P}$を引き直角三角形$\text{FF'P}$をつくります。
$\text{FP}$と$\text{F'P}$の長さの和は2つの焦点からの距離の和となるため$2a$となります。
したがって、$\text{FP}$の長さを$x$とすれば$\text{F'P}$の長さは$2a-x$となります。

そして$\text{FF'}$の長さは焦点間の距離なので$2\sqrt{a^2-b^2}$です。

これらのことから、三平方の定理より

\begin{align*}\text{PF'}^2&=\text{PF}^2+\text{FF'}^2\\[0.5em](2a-x)^2&=x^2+\left(2\sqrt{a^2-b^2}\right)^2\\[0.5em]4a^2-4ax+x^2&=x^2+4(a^2-b^2)\\[0.5em]4ax&=4b^2\\[0.5em]x&=\frac{b^2}{a}\end{align*}

となるので、$\text{PF}=\dfrac{b^2}{a}$であることがわかります。

　ちなみに$b>a>0$のときは長軸の長さが$2b$、焦点間の距離が$2\sqrt{b^2-a^2}$となります。
同様に考えれば上図のように$\text{QF}=y$とおけば$\text{QF'}=2b-y$となるから

\begin{align*}\text{QF'}^2&=\text{QF}^2+\text{FF'}^2\\[0.5em](2b-y)^2&=y^2+\left(2\sqrt{b^2-a^2}\right)^2\\[0.5em]4b^2-4by+y^2&=y^2+4(b^2-a^2)\\[0.5em]4by&=4a^2\\[0.5em]y&=\frac{a^2}{b}\end{align*}

$\text{QF}=\dfrac{a^2}{b}$となることがわかります。

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