楕円の焦点から引いた垂線の長さは？ ~ 数学について考えてみる

2022年9月23日

楕円の焦点から引いた垂線の長さは？

PLUMBAGO

焦点を足とする垂線の長さは？

　楕円

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0 (a > b > 0)

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=0\ (a>b>0)$ の焦点の1つ

F

$\text{F}$ から長軸に垂直な直線を引きます。この垂線と楕円の交点を

P

$\text{P}$ とするとき、線分

FP

$\text{FP}$ の長さはどうなるでしょうか？

　まずは楕円の特徴についておさらいします。
楕円の定義は「2つの焦点からの距離の和が一定となる点の軌跡」です。この2つの焦点からの距離の和は長軸の長さ

2 a

$2a$ と等しくなります。

また、焦点から短軸の一端までの距離が長軸の長さの半分となるため、三平方の定理を利用して求めると焦点間の距離は

2 \sqrt{a^{2} - b^{2}}

$2\sqrt{a^2-b^2}$ となります。

以上を利用して線分

FP

$\text{FP}$ の長さを求めます。

直角三角形をつくる

　線分

F'P

$\text{F'P}$ を引き直角三角形

FF'P

$\text{FF'P}$ をつくります。

FP

$\text{FP}$ と

F'P

$\text{F'P}$ の長さの和は2つの焦点からの距離の和となるため

2 a

$2a$ となります。
したがって、

FP

$\text{FP}$ の長さを

x

$x$ とすれば

F'P

$\text{F'P}$ の長さは

2 a - x

$2a-x$ となります。

そして

FF'

$\text{FF'}$ の長さは焦点間の距離なので

2 \sqrt{a^{2} - b^{2}}

$2\sqrt{a^2-b^2}$ です。

これらのことから、三平方の定理より

\begin{aligned} {PF'}^{2} & = {PF}^{2} + {FF'}^{2} \\ (2 a - x)^{2} & = x^{2} + {(2 \sqrt{a^{2} - b^{2}})}^{2} \\ 4 a^{2} - 4 a x + x^{2} & = x^{2} + 4 (a^{2} - b^{2}) \\ 4 a x & = 4 b^{2} \\ x & = \frac{b^{2}}{a} \end{aligned}

$\begin{align*}\text{PF'}^2&=\text{PF}^2+\text{FF'}^2\\[0.5em](2a-x)^2&=x^2+\left(2\sqrt{a^2-b^2}\right)^2\\[0.5em]4a^2-4ax+x^2&=x^2+4(a^2-b^2)\\[0.5em]4ax&=4b^2\\[0.5em]x&=\frac{b^2}{a}\end{align*}$

となるので、

PF = \frac{b^{2}}{a}

$\text{PF}=\dfrac{b^2}{a}$ であることがわかります。

三平方の定理より垂線の長さを求める

　ちなみに

b > a > 0

$b>a>0$ のときは長軸の長さが

2 b

$2b$ 、焦点間の距離が

2 \sqrt{b^{2} - a^{2}}

$2\sqrt{b^2-a^2}$ となります。
同様に考えれば上図のように

QF = y

$\text{QF}=y$ とおけば

QF' = 2 b - y

$\text{QF'}=2b-y$ となるから

\begin{aligned} {QF'}^{2} & = {QF}^{2} + {FF'}^{2} \\ (2 b - y)^{2} & = y^{2} + {(2 \sqrt{b^{2} - a^{2}})}^{2} \\ 4 b^{2} - 4 b y + y^{2} & = y^{2} + 4 (b^{2} - a^{2}) \\ 4 b y & = 4 a^{2} \\ y & = \frac{a^{2}}{b} \end{aligned}

$\begin{align*}\text{QF'}^2&=\text{QF}^2+\text{FF'}^2\\[0.5em](2b-y)^2&=y^2+\left(2\sqrt{b^2-a^2}\right)^2\\[0.5em]4b^2-4by+y^2&=y^2+4(b^2-a^2)\\[0.5em]4by&=4a^2\\[0.5em]y&=\frac{a^2}{b}\end{align*}$

QF = \frac{a^{2}}{b}

$\text{QF}=\dfrac{a^2}{b}$ となることがわかります。

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