楕円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=0\
(a>b>0)の焦点の1つ\text{F}から長軸に垂直な直線を引きます。この垂線と楕円の交点を\text{P}とするとき、線分\text{FP}の長さはどうなるでしょうか?
まずは楕円の特徴についておさらいします。
楕円の定義は「2つの焦点からの距離の和が一定となる点の軌跡」です。この2つの焦点からの距離の和は長軸の長さ2aと等しくなります。 また、焦点から短軸の一端までの距離が長軸の長さの半分となるため、三平方の定理を利用して求めると焦点間の距離は2\sqrt{a^2-b^2}となります。
楕円の定義は「2つの焦点からの距離の和が一定となる点の軌跡」です。この2つの焦点からの距離の和は長軸の長さ2aと等しくなります。 また、焦点から短軸の一端までの距離が長軸の長さの半分となるため、三平方の定理を利用して求めると焦点間の距離は2\sqrt{a^2-b^2}となります。
以上を利用して線分\text{FP}の長さを求めます。
線分\text{F'P}を引き直角三角形\text{FF'P}をつくります。
\text{FP}と\text{F'P}の長さの和は2つの焦点からの距離の和となるため2aとなります。
したがって、\text{FP}の長さをxとすれば\text{F'P}の長さは2a-xとなります。
\text{FP}と\text{F'P}の長さの和は2つの焦点からの距離の和となるため2aとなります。
したがって、\text{FP}の長さをxとすれば\text{F'P}の長さは2a-xとなります。
そして\text{FF'}の長さは焦点間の距離なので2\sqrt{a^2-b^2}です。
これらのことから、三平方の定理より
\begin{align*}\text{PF'}^2&=\text{PF}^2+\text{FF'}^2\\[0.5em](2a-x)^2&=x^2+\left(2\sqrt{a^2-b^2}\right)^2\\[0.5em]4a^2-4ax+x^2&=x^2+4(a^2-b^2)\\[0.5em]4ax&=4b^2\\[0.5em]x&=\frac{b^2}{a}\end{align*}
となるので、\text{PF}=\dfrac{b^2}{a}であることがわかります。
ちなみにb>a>0のときは長軸の長さが2b、焦点間の距離が2\sqrt{b^2-a^2}となります。
同様に考えれば上図のように\text{QF}=yとおけば\text{QF'}=2b-yとなるから
同様に考えれば上図のように\text{QF}=yとおけば\text{QF'}=2b-yとなるから
\begin{align*}\text{QF'}^2&=\text{QF}^2+\text{FF'}^2\\[0.5em](2b-y)^2&=y^2+\left(2\sqrt{b^2-a^2}\right)^2\\[0.5em]4b^2-4by+y^2&=y^2+4(b^2-a^2)\\[0.5em]4by&=4a^2\\[0.5em]y&=\frac{a^2}{b}\end{align*}
\text{QF}=\dfrac{a^2}{b}となることがわかります。
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