原点と他の2点からつくられる三角形の面積を求める ~ 数学について考えてみる

2022年9月7日

原点と他の2点からつくられる三角形の面積を求める

PLUMBAGO

　原点

$\text{O}$ と他の2点

$\text{A}(a_1,a_2),\text{B}(b_1,b_2)$ を直線で結んでできる三角形の面積はどのように求めるのでしょうか？

　ベクトルを利用して面積を求めます。

$\vec{\text{OA}},\vec{\text{OB}}$ を考え、この2ベクトルのなす角を

$θ$ とすると、三角形の面積を求める公式より

$△\text{OAB}=\frac{1}{2}|\vec{\text{OA}}||\vec{\text{OB}}|\sin\theta$

となります。

両辺を2乗すると

$\begin{align*}△\text{OAB}^2&=\left(\frac{1}{2}|\vec{\text{OA}}||\vec{\text{OB}}|\sin\theta\right)^2\\[0.5em]&=\frac{1}{4}|\vec{\text{OA}}|^2|\vec{\text{OB}}|^2\sin^2\theta\\[0.5em]&=\frac{1}{4}|\vec{\text{OA}}|^2|\vec{\text{OB}}|^2(1-\cos^2\theta)\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\left(|\vec{\text{OA}}|^2|\vec{\text{OB}}|^2-|\vec{\text{OA}}|^2|\vec{\text{OB}}|^2\cos^2\theta\right)\end{align*}$

ここで、内積の定義より

$\vec{\text{OA}}\cdot\vec{\text{OB}}=|\vec{\text{OA}}||\vec{\text{OB}}|\cos\theta$

なので、

$\begin{align*}△\text{OAB}^2&=\frac{1}{4}\left\{|\vec{\text{OA}}|^2|\vec{\text{OB}}|^2-\left(\vec{\text{OA}}\cdot\vec{\text{OB}}\right)^2\right\}\end{align*}$

すると、

$△\text{OAB}\geqq0,\dfrac{1}{2}|\vec{\text{OA}}||\vec{\text{OB}}|\sin\theta\geqq0$ なので

$△\text{OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{\text{OA}}|^2|\vec{\text{OB}}|^2-\left(\vec{\text{OA}}\cdot\vec{\text{OB}}\right)^2}$

となります。

　ベクトル成分を使うとそれぞれ

$\begin{align*}\vec{\text{OA}}&=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\\[1em]\vec{\text{OB}}&=\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}\\[1em]\vec{\text{OA}}\cdot\vec{\text{OB}}&=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}$

なので、

$\begin{align*}△\text{OAB}&=\frac{1}{2}\sqrt{({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{{a_1}^2{b_2}^2+{a_2}^2{b_1}^2-2a_1a_2b_1b_2}\\ &\quad\because({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+{a_1}^2{b_2}^2+{a_2}^2{b_1}^2\\ &\qquad(a_1b_1+a_2b_2)^2={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+2a_1a_2b_1b_2\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2)^2+(a_2b_1)^2-2a_1b_2\cdot a_2b_1}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|\end{align*}$

となります。