原点$O$と他の2点$A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)$を直線で結んでできる三角形の面積はどのように求めるのでしょうか?
ベクトルを利用して面積を求めます。
$\vec{OA},\vec{OB}$を考え、この2ベクトルのなす角を$\theta$とすると、三角形の面積を求める公式より
\[△OAB=\frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin\theta\]
となります。
ここで、内積の定義より
\[\vec{OA}\cdot\vec{OB}=|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos\theta\]
なので、
\begin{align*}△OAB^2&=\frac{1}{4}\left\{|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2-\left(\vec{OA}\cdot\vec{OB}\right)^2\right\}\end{align*}
両辺の正の平方根をとると
\[△OAB=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2-\left(\vec{OA}\cdot\vec{OB}\right)^2}\]
となります。
ベクトル成分を使うとそれぞれ
\begin{align*}\vec{OA}&=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\\ \\ \vec{OB}&=\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}\\ \\ \vec{OA}\cdot\vec{OB}&=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}
なので、
\begin{align*}△OAB&=\frac{1}{2}\sqrt{({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2}\\ \\ &=\frac{1}{2}\sqrt{{a_1}^2{b_2}^2+{a_2}^2{b_1}^2-2a_1a_2b_1b_2}\\ &\quad\because({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+{a_1}^2{b_2}^2+{a_2}^2{b_1}^2\\ &\qquad(a_1b_1+a_2b_2)^2={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+2a_1a_2b_1b_2\\ \\ &=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2)^2+(a_2b_1)^2-2a_1b_2\cdot a_2b_1}\\ \\ &=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2}\\ \\ &=\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|\end{align*}
となります。