ベクトルを利用して面積を求めます。
→OA,→OB→OA,→OBを考え、この2ベクトルのなす角をθθとすると、三角形の面積を求める公式より
→OA,→OB→OA,→OBを考え、この2ベクトルのなす角をθθとすると、三角形の面積を求める公式より
△OAB=12|→OA||→OB|sinθ△OAB=12|→OA||→OB|sinθ
となります。
両辺を2乗すると
△OAB2=(12|→OA||→OB|sinθ)2=14|→OA|2|→OB|2sin2θ=14|→OA|2|→OB|2(1−cos2θ)=14(|→OA|2|→OB|2−|→OA|2|→OB|2cos2θ)
ここで、内積の定義より
→OA⋅→OB=|→OA||→OB|cosθ
なので、
△OAB2=14{|→OA|2|→OB|2−(→OA⋅→OB)2}
すると、△OAB≧0,12|→OA||→OB|sinθ≧0なので
△OAB=12√|→OA|2|→OB|2−(→OA⋅→OB)2
となります。
ベクトル成分を使うとそれぞれ
→OA=√a12+a22→OB=√b12+b22→OA⋅→OB=a1b1+a2b2
なので、
△OAB=12√(a12+a22)(b12+b22)−(a1b1+a2b2)2=12√a12b22+a22b12−2a1a2b1b2∵(a12+a22)(b12+b22)=a12b12+a22b22+a12b22+a22b12(a1b1+a2b2)2=a12b12+a22b22+2a1a2b1b2=12√(a1b2)2+(a2b1)2−2a1b2⋅a2b1=12√(a1b2−a2b1)2=12|a1b2−a2b1|
となります。
原点でなくA, Bと異なる点C(c1,c2)を使って△ABCをつくり、この面積を
△ABC=12|→CA||→CB|sinϕ
より求めるとするとベクトル成分を使って面積を求める式は、△OABの面積の式の→OA=(a1,a2)を→CA=(a1−c1,a2−c2)、→OB=(b1,b2)を→CB=(b1−c1,b2−c2)に、すなわちベクトル成分のa1,a2,b1b2をそれぞれa1−c1,a2−c2,b1−c1,b2−c2に置き換えれば良いので
△ABC=12|(a1−c1)(b2−c2)−(a2−c2)(b1−c1)|
となります。
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