原点と他の2点からつくられる三角形の面積を求める

　原点$O$と他の2点$A(a_1,a_2),B(b_1,b_2)$を直線で結んでできる三角形の面積はどのように求めるのでしょうか？

　ベクトルを利用して面積を求めます。
$\vec{OA},\vec{OB}$を考え、この2ベクトルのなす角を$θ$とすると、三角形の面積を求める公式より

\[△OAB=\frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin\theta\]

となります。

関連：なぜサインで三角形の面積を求められるのか？

両辺を2乗すると

\begin{align*}△OAB^2&=\left(\frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin\theta\right)^2\\[0.5em]&=\frac{1}{4}|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2\sin^2\theta\\[0.5em]&=\frac{1}{4}|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2(1-\cos^2\theta)\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\left(|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2-|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2\cos^2\theta\right)\end{align*}

ここで、内積の定義より

\[\vec{OA}\cdot\vec{OB}=|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos\theta\]

なので、

\begin{align*}△OAB^2&=\frac{1}{4}\left\{|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2-\left(\vec{OA}\cdot\vec{OB}\right)^2\right\}\end{align*}

すると、$△OAB\geqq0,\dfrac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin\theta\geqq0$なので

\[△OAB=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{OA}|^2|\vec{OB}|^2-\left(\vec{OA}\cdot\vec{OB}\right)^2}\]

となります。

　ベクトル成分を使うとそれぞれ

\begin{align*}\vec{OA}&=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\\[1em]\vec{OB}&=\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}\\[1em]\vec{OA}\cdot\vec{OB}&=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}

なので、

\begin{align*}△OAB&=\frac{1}{2}\sqrt{({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{{a_1}^2{b_2}^2+{a_2}^2{b_1}^2-2a_1a_2b_1b_2}\\ &\quad\because({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+{a_1}^2{b_2}^2+{a_2}^2{b_1}^2\\ &\qquad(a_1b_1+a_2b_2)^2={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+2a_1a_2b_1b_2\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2)^2+(a_2b_1)^2-2a_1b_2\cdot a_2b_1}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|\end{align*}

となります。

　原点でなく$A,B$と異なる点$C(c_1,c_2)$を使って$△ABC$をつくり、この面積を

\[△ABC=\frac{1}{2}|\vec{CA}||\vec{CB}|\sin\phi\]

より求めるとするとベクトル成分を使って面積を求める式は、$△OAB$の面積の式の$\vec{OA}=(a_1,a_2)$を$\vec{CA}=(a_1-c_1,a_2-c_2)$、$\vec{OB}=(b_1,b_2)$を$\vec{CB}=(b_1-c_1,b_2-c_2)$に、すなわちベクトル成分の$a_1,a_2,b_1b_2$をそれぞれ$a_1-c_1,a_2-c_2,b_1-c_1,b_2-c_2$に置き換えれば良いので

\[△ABC=\frac{1}{2}|(a_1-c_1)(b_2-c_2)-(a_2-c_2)(b_1-c_1)|\]

となります。

関連：ベクトルの成分とは？