ベクトルを利用して面積を求めます。
$\vec{\text{OA}},\vec{\text{OB}}$を考え、この2ベクトルのなす角を$θ$とすると、三角形の面積を求める公式より
$\vec{\text{OA}},\vec{\text{OB}}$を考え、この2ベクトルのなす角を$θ$とすると、三角形の面積を求める公式より
\[△\text{OAB}=\frac{1}{2}|\vec{\text{OA}}||\vec{\text{OB}}|\sin\theta\]
となります。
両辺を2乗すると
\begin{align*}△\text{OAB}^2&=\left(\frac{1}{2}|\vec{\text{OA}}||\vec{\text{OB}}|\sin\theta\right)^2\\[0.5em]&=\frac{1}{4}|\vec{\text{OA}}|^2|\vec{\text{OB}}|^2\sin^2\theta\\[0.5em]&=\frac{1}{4}|\vec{\text{OA}}|^2|\vec{\text{OB}}|^2(1-\cos^2\theta)\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\left(|\vec{\text{OA}}|^2|\vec{\text{OB}}|^2-|\vec{\text{OA}}|^2|\vec{\text{OB}}|^2\cos^2\theta\right)\end{align*}
ここで、内積の定義より
\[\vec{\text{OA}}\cdot\vec{\text{OB}}=|\vec{\text{OA}}||\vec{\text{OB}}|\cos\theta\]
なので、
\begin{align*}△\text{OAB}^2&=\frac{1}{4}\left\{|\vec{\text{OA}}|^2|\vec{\text{OB}}|^2-\left(\vec{\text{OA}}\cdot\vec{\text{OB}}\right)^2\right\}\end{align*}
すると、$△\text{OAB}\geqq0,\dfrac{1}{2}|\vec{\text{OA}}||\vec{\text{OB}}|\sin\theta\geqq0$なので
\[△\text{OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{\text{OA}}|^2|\vec{\text{OB}}|^2-\left(\vec{\text{OA}}\cdot\vec{\text{OB}}\right)^2}\]
となります。
ベクトル成分を使うとそれぞれ
\begin{align*}\vec{\text{OA}}&=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\\[1em]\vec{\text{OB}}&=\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}\\[1em]\vec{\text{OA}}\cdot\vec{\text{OB}}&=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}
なので、
\begin{align*}△\text{OAB}&=\frac{1}{2}\sqrt{({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{{a_1}^2{b_2}^2+{a_2}^2{b_1}^2-2a_1a_2b_1b_2}\\
&\quad\because({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+{a_1}^2{b_2}^2+{a_2}^2{b_1}^2\\
&\qquad(a_1b_1+a_2b_2)^2={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+2a_1a_2b_1b_2\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2)^2+(a_2b_1)^2-2a_1b_2\cdot
a_2b_1}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|\end{align*}
となります。
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\[△\text{ABC}=\frac{1}{2}|\vec{\text{CA}}||\vec{\text{CB}}|\sin\phi\]
より求めるとするとベクトル成分を使って面積を求める式は、$△\text{OAB}$の面積の式の$\vec{\text{OA}}=(a_1,a_2)$を$\vec{\text{CA}}=(a_1-c_1,a_2-c_2)$、$\vec{\text{OB}}=(b_1,b_2)$を$\vec{\text{CB}}=(b_1-c_1,b_2-c_2)$に、すなわちベクトル成分の$a_1,a_2,b_1b_2$をそれぞれ$a_1-c_1,a_2-c_2,b_1-c_1,b_2-c_2$に置き換えれば良いので
\[△\text{ABC}=\frac{1}{2}|(a_1-c_1)(b_2-c_2)-(a_2-c_2)(b_1-c_1)|\]
となります。
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