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2022年9月7日

原点と他の2点からつくられる三角形の面積を求める

原点と他の2点を頂点とする三角形の面積は?
 原点OOと他の2点A(a1,a2),B(b1,b2)A(a1,a2),B(b1,b2)を直線で結んでできる三角形の面積はどのように求めるのでしょうか?

 ベクトルを利用して面積を求めます。
OA,OBOA,OBを考え、この2ベクトルのなす角をθθとすると、三角形の面積を求める公式より
OAB=12|OA||OB|sinθOAB=12|OA||OB|sinθ
となります。
両辺を2乗すると
OAB2=(12|OA||OB|sinθ)2=14|OA|2|OB|2sin2θ=14|OA|2|OB|2(1cos2θ)=14(|OA|2|OB|2|OA|2|OB|2cos2θ)
ここで、内積の定義より
OAOB=|OA||OB|cosθ
なので、
OAB2=14{|OA|2|OB|2(OAOB)2}
すると、OAB0,12|OA||OB|sinθ0なので
OAB=12|OA|2|OB|2(OAOB)2
となります。
 ベクトル成分を使うとそれぞれ
OA=a12+a22OB=b12+b22OAOB=a1b1+a2b2
なので、
OAB=12(a12+a22)(b12+b22)(a1b1+a2b2)2=12a12b22+a22b122a1a2b1b2(a12+a22)(b12+b22)=a12b12+a22b22+a12b22+a22b12(a1b1+a2b2)2=a12b12+a22b22+2a1a2b1b2=12(a1b2)2+(a2b1)22a1b2a2b1=12(a1b2a2b1)2=12|a1b2a2b1|
となります。
頂点の座標がどれも原点でないとき三角形の面積は?
 原点でなくA, Bと異なる点C(c1,c2)を使ってABCをつくり、この面積を
ABC=12|CA||CB|sinϕ
より求めるとするとベクトル成分を使って面積を求める式は、OABの面積の式のOA=(a1,a2)CA=(a1c1,a2c2)OB=(b1,b2)CB=(b1c1,b2c2)に、すなわちベクトル成分のa1,a2,b1b2をそれぞれa1c1,a2c2,b1c1,b2c2に置き換えれば良いので
ABC=12|(a1c1)(b2c2)(a2c2)(b1c1)|
となります。

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