放物線の接線の方程式 ~ 数学について考えてみる

2022年9月10日

放物線の接線の方程式

PLUMBAGO

　主軸がx軸の放物線

$4ax=y^2$ 上の点

$(p,q)$ における接線の方程式は

$\large 2a(x+p)=qy$

で表されます。

なぜ、このような式で表されるのでしょうか？

　まずは

$y$ について解きます。

$y=\pm2\sqrt{ax}=\pm2(ax)^\frac{1}{2}$

となるので、

$\begin{align*}\left\{\begin{aligned}y<0&のとき\\ y&=-2(ax)^\frac{1}{2}\\[1em]y\geqq0&のとき\\ y&=2(ax)^\frac{1}{2}\end{aligned}\right.\\ ただし、&a,x<0またはa,x\geqq0\end{align*}$

のように

$y$ の正の部分と負の部分の2つに分割することができます。

$x$ で微分すると

$\begin{align*}y'&=\pm2(ax)'\cdot\frac{1}{2}(ax)^{-\frac{1}{2}}\\[0.5em]&=\pm\frac{a}{\sqrt{ax}}\end{align*}$

ここで、放物線の方程式より

$ax=\dfrac{y^2}{4}$ なので、

$\begin{align*}y'&=\pm\cfrac{a}{\sqrt{\cfrac{y^2}{4}}}\\[0.5em]&=\pm\cfrac{a}{\left|\cfrac{y}{2}\right|}\\[0.5em]&=\pm\frac{2a}{|y|}\end{align*}$

となり、

$y$ の範囲で場合分けすれば

$\left\{\begin{aligned}y<0&のとき\\ y'&=-\frac{2a}{-y}=\frac{2a}{y}\\[1em]y\geqq0&のとき\\ y'&=\frac{2a}{y}\end{aligned}\right.$

$y$ の範囲によらず

$y'=\dfrac{2a}{y}$ で表されることがわかります。

　放物線上の点

$(p,q)$ における接線の傾きは

$y'(q)=\frac{2a}{q}$

なので、放物線上の点

$(p,q)$ における接線の方程式は

$y-q=\frac{2a}{q}(x-p)$

となります。これを変形すると

$\begin{align*}2a(x-p)&=q(y-q)\\[0.5em]&=qy-q^2\\[0.5em]2a(x-p)+q^2&=qy\\[0.5em]2a(x-p)+4ap&=qy\\ &(\because(p,q)は放物線上の点なので、4ap=q^2)\\[0.5em]2a(x+p)&=qy\end{align*}$

　したがって、放物線

$4ax=y^2$ 上の点

$(p,q)$ における接線の方程式は

$2a(x+p)=qy$

で表されることがわかります。

　主軸がy軸の放物線

$4ay=x^2$ 上の点

$(p,q)$ における接線の方程式は
放物線の方程式の導関数

$y'=\dfrac{x}{2a}$ より

$\begin{align*}y-q&=\frac{p}{2a}(x-p)\\[0.5em]2a(y-q)&=px-p^2\\[0.5em]2a(y-q)&=px-4aq\\ &(\because放物線の方程式よりp^2=4aq)\\[0.5em]2a(y+q)&=px\end{align*}$

となります。

これは放物線の標準形から求めた接線の方程式ですが、同じく放物線のグラフとなる2次関数の標準形