放物線の接線の方程式 ~ 数学について考えてみる

2022年9月10日

放物線の接線の方程式

PLUMBAGO

　主軸がx軸の放物線

4 a x = y^{2}

$4ax=y^2$ 上の点

(p, q)

$(p,q)$ における接線の方程式は

2 a (x + p) = q y

$\large 2a(x+p)=qy$

で表されます。

なぜ、このような式で表されるのでしょうか？

　まずは

y

$y$ について解きます。

y = \pm 2 \sqrt{a x} = \pm 2 (a x)^{\frac{1}{2}}

$y=\pm2\sqrt{ax}=\pm2(ax)^\frac{1}{2}$

となるので、

\begin{aligned} {\begin{aligned} y < 0 & の と き \\ y & = - 2 (a x)^{\frac{1}{2}} \\ y ≧ 0 & の と き \\ y & = 2 (a x)^{\frac{1}{2}} \end{aligned} \\ た だ し 、 & a, x < 0 ま た は a, x ≧ 0 \end{aligned}

$\begin{align*}\left\{\begin{aligned}y<0&のとき\\ y&=-2(ax)^\frac{1}{2}\\[1em]y\geqq0&のとき\\ y&=2(ax)^\frac{1}{2}\end{aligned}\right.\\ ただし、&a,x<0またはa,x\geqq0\end{align*}$

のように

y

$y$ の正の部分と負の部分の2つに分割することができます。

x

$x$ で微分すると

\begin{aligned} y^{'} & = \pm 2 (a x)^{'} \cdot \frac{1}{2} (a x)^{- \frac{1}{2}} \\ = \pm \frac{a}{\sqrt{a x}} \end{aligned}

$\begin{align*}y'&=\pm2(ax)'\cdot\frac{1}{2}(ax)^{-\frac{1}{2}}\\[0.5em]&=\pm\frac{a}{\sqrt{ax}}\end{align*}$

ここで、放物線の方程式より

a x = \frac{y^{2}}{4}

$ax=\dfrac{y^2}{4}$ なので、

\begin{aligned} y^{'} & = \pm \frac{a}{\sqrt{\frac{y^{2}}{4}}} \\ = \pm \frac{a}{| \frac{y}{2} |} \\ = \pm \frac{2 a}{| y |} \end{aligned}

$\begin{align*}y'&=\pm\cfrac{a}{\sqrt{\cfrac{y^2}{4}}}\\[0.5em]&=\pm\cfrac{a}{\left|\cfrac{y}{2}\right|}\\[0.5em]&=\pm\frac{2a}{|y|}\end{align*}$

となり、

y

$y$ の範囲で場合分けすれば

{\begin{aligned} y < 0 & の と き \\ y^{'} & = - \frac{2 a}{- y} = \frac{2 a}{y} \\ y ≧ 0 & の と き \\ y^{'} & = \frac{2 a}{y} \end{aligned}

$\left\{\begin{aligned}y<0&のとき\\ y'&=-\frac{2a}{-y}=\frac{2a}{y}\\[1em]y\geqq0&のとき\\ y'&=\frac{2a}{y}\end{aligned}\right.$

y

$y$ の範囲によらず

y^{'} = \frac{2 a}{y}

$y'=\dfrac{2a}{y}$ で表されることがわかります。

　放物線上の点

(p, q)

$(p,q)$ における接線の傾きは

y^{'} (q) = \frac{2 a}{q}

$y'(q)=\frac{2a}{q}$

なので、放物線上の点

(p, q)

$(p,q)$ における接線の方程式は

y - q = \frac{2 a}{q} (x - p)

$y-q=\frac{2a}{q}(x-p)$

となります。これを変形すると

\begin{aligned} 2 a (x - p) & = q (y - q) \\ = q y - q^{2} \\ 2 a (x - p) + q^{2} & = q y \\ 2 a (x - p) + 4 a p & = q y \\ (∵ (p, q) は 放 物 線 上 の 点 な の で 、 4 a p = q^{2}) \\ 2 a (x + p) & = q y \end{aligned}

$\begin{align*}2a(x-p)&=q(y-q)\\[0.5em]&=qy-q^2\\[0.5em]2a(x-p)+q^2&=qy\\[0.5em]2a(x-p)+4ap&=qy\\ &(\because(p,q)は放物線上の点なので、4ap=q^2)\\[0.5em]2a(x+p)&=qy\end{align*}$

　したがって、放物線