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2022年9月25日

三角形の面積から長方形の面積を求める

数学 長方形の面積の問題
「長方形\text{ABCD}の外側に点\text{P}をおく。
△\text{PAD}の面積が80△\text{PBC}の面積が20のとき、長方形\text{ABCD}の面積を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?


 長方形の面積を求めるには隣り合う2辺の長さが必要です。
2つの三角形はそれぞれ長方形の1辺を共有しているので、まずはそこに着目しながらそれぞれの三角形の面積について考えます。

 △\text{PBC}について考えます。
△PBCの面積
\text{P}から辺\text{BC}へ垂線を下ろし、\text{BC}との交点を\text{H}とすると、△\text{PBC}の面積について
\begin{align*}△\text{PBC}&=\frac{1}{2}\text{BC}\cdot \text{PH}\\[0.5em]&=20\end{align*}
となります。
\text{PH}について解けば
\begin{align*}\text{BC}\cdot \text{PH}&=40\\[0.5em]\text{PH}&=\frac{40}{\text{BC}}\tag1\end{align*}
となります。

 △\text{PAD}について考えます。
△PADの面積
\text{P}から辺\text{AD}へ垂線を下ろし、\text{AD}との交点を\text{I}とすると、△\text{PAD}の面積について
\begin{align*}△\text{PAD}&=\frac{1}{2}\text{AD}\cdot \text{PI}\\[0.5em]&=80\end{align*}
となります。
\text{PI}について解けば
\begin{align*}\text{AD}\cdot \text{PI}&=160\\[0.5em]\text{PI}&=\frac{160}{\text{AD}}\tag2\end{align*}
ここで、\text{PI}=\text{PH}+\text{HI, HI}=\text{AB, AD}=\text{BC}であるから(2)
\text{PH}+\text{AB}=\frac{160}{\text{BC}}\tag3
と書けます。
(1), (3)より\text{AB}の長さは
\begin{align*}\text{AB}&=\text{PI-PH}\\[0.5em]&=(\text{PH}+\text{AB})-\text{PH}\\[0.5em]&=\frac{160}{\text{BC}}-\frac{40}{\text{BC}}\\[0.5em]&=\frac{120}{\text{BC}}\tag4\end{align*}
長方形\text{ABCD}の面積は\text{AB}\cdot\text{BC}で求められるから(4)を変形して
\text{AB}\cdot\text{BC}=120
したがって、長方形\text{ABCD}の面積は120であることがわかります。

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