ベクトルの成分とは？

　ベクトルの成分とは、あるベクトルを始点が原点となるように平行移動したときの終点の座標のことです。

座標平面や座標空間にあるベクトルはどれも座標軸方向の単位ベクトルの和によってできているといえます。座標軸方向の単位ベクトルのことを基本ベクトルといいます。

例えば、$\vec{\text{A}}$が

\begin{align*}\vec{\text{A}}&=p\vec{e_x}+q\vec{e_y}\\ &\left(\begin{aligned}p,q&:実数\\ \vec{e_x}&:x軸方向の基本ベクトル\hspace{3em}\\ \vec{e_y}&:y軸方向の基本ベクトル\end{aligned}\right)\end{align*}

と表せるとき、x軸方向の基本ベクトルの係数$p$を$\vec{\text{A}}$のx成分、y軸方向の基本ベクトルの係数$q$を$\vec{\text{A}}$のy成分、各基本ベクトルの係数の組$(p,q)$を$\vec{\text{A}}$の成分といいます。
そのベクトルがどのような成分をもっているかを表すには

\[\vec{\text{A}}=(p,q)\]

のように書きます。

各基本ベクトルは単位ベクトルなので大きさは$1$であり、それぞれがもつ向きも含めて考えると、x軸方向の基本ベクトル$\vec{e_x}$の終点は始点からx軸方向に$1$だけ移動した先、y軸方向の基本ベクトル$\vec{e_y}$の終点は始点からy軸方向に$1$だけ移動した先にあるといえます。

すると、上記の式より$\vec{\text{A}}$の終点は始点からx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ移動した先にあるということなので、$\vec{\text{A}}$の始点を原点とすれば終点の座標は$(p,q)$となり$\vec{\text{A}}$の成分と表記が一致します。なので、ベクトルの成分について最初に書いたようなことがいえます。

　ベクトルの始点が原点でない場合、ベクトルの始点と終点の座標よりベクトルの成分を求めることができます。

上で触れたようにベクトルの成分は各座標軸方向への移動量ともいえることを利用します。

$\vec{\text{B}}$の始点の座標が$(b_1,b_2)$、終点の座標が$(b_3,b_4)$のとき、始点からx軸方向に$b_3-b_1$、y軸方向に$b_4-b_2$だけ移動して終点にたどり着くことから、$\vec{\text{B}}$の成分は$(b_3-b_1,b_4-b_2)$であることがわかります。

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