\[\large\angle ABC=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|\]
となります。
なぜこれで求めることができるのでしょうか？
$∠ABC$を最初は線分$AB$が測りはじめの基準の反時計回りを正として測った線分$BC$までの一般角と考え、その後に測り方の向きを考慮しない角として再考することで、上記の式が成り立つことを確かめてみます。
点$B$が原点のとき
.png)
このとき、$∠ABC$は点$A(α)$の動径が基準の反時計回りを正として測った点$C(γ)$の動径までの一般角となるので、複素数の偏角の差より
\begin{align*}\angle
ABC&=\arg\gamma-\arg\alpha\\[0.5em]&=\arg\frac{\gamma}{\alpha}\tag1\end{align*}
により求められます。
点$A(α)$の動径から点$C(γ)$の動径まで反時計回りに測った角度で最小のものを$θ_1$、時計回りに測った角度で$0$を除き最小のものを$θ_2$とすると、偏角の主値を$0\leqq\text{Arg}\
z<2\pi$としたとき
\begin{align*}\theta_1&=\text{Arg}\
\dfrac{\gamma}{\alpha}\\[1em]\theta_2&=\theta_1-2\pi=\text{Arg}\
\dfrac{\gamma}{\alpha}-2\pi\end{align*}
と書くことができます。
したがって、$\arg\dfrac{γ}{α}$は
\[\begin{aligned}\arg\dfrac{γ}{α}&=\theta_1+2n\pi&(n:整数)\\[0.5em]&=\theta_2+2(1+n)\pi\end{aligned}\tag2\]
と書くこともできます。
$∠ABC$を測り方の向きを考慮しない角度として再考すると、$(1)$を利用して
\[\angle ABC=\left|\arg\frac{\gamma}{\alpha}\right|\tag3\]
と表すことができます。符号が測り方の向きを表すものなので、絶対値をとって符号を取り払うことが測り方の向きを考慮しないことになります。
$(2)$より、$(3)$のとりうる値は$θ_1$または$|θ_2|$、あるいはどちらかと$2\pi$の自然数倍の和となります。
$(2)$より$\arg\dfrac{γ}{α}\leqq0$のとき、$0$以上の整数$k$をもちいると
\[\arg\frac{\gamma}{\alpha}=\theta_1+2k\pi\]
と書け、$θ_1\geqq0$かつ$2k\pi\geqq0$より
\[\left|\arg\frac{\gamma}{\alpha}\right|=\theta_1+2k\pi\]
$\arg\dfrac{γ}{α}>0$のとき、$n=-m$（$m:$自然数）とおくと
\[\arg\frac{\gamma}{\alpha}=\theta_2+2(1-m)\pi\]
と書け、$θ_2<0$より
\begin{align*}\arg\frac{\gamma}{\alpha}&=-|\theta_2|+2(1-m)\pi\\[0.5em]&=-|\theta_2|-2(m-1)\pi\\[0.5em]&=-\bigl\{|\theta_2|+2(m-1)\pi\bigr\}\end{align*}
$|θ_2|>0$かつ$2(m-1)\pi\geqq0$より
\[\left|\arg\frac{\gamma}{\alpha}\right|=|\theta_2|+2(m-1)\pi\]
以上より、$(3)$のとりうる値は$θ_1$または$|θ_2|$、あるいはどちらかと$2\pi$の自然数倍の和であることがわかります。
しかし、$∠ABC$の大きさは通常$0\leqq∠ABC\leqq2\pi$の範囲で考えるので$(3)$のとりうる値は$θ_1$か$|θ_2|$の2つに限定されます。
このとき$(3)$のとりうる値で最小（$\min\{θ_1,|θ_2|\}$）となるものは劣角（線分$AB,BC$のつくる角のうち小さいほう）の$∠ABC$、最大（$\max\{θ_1,|θ_2|\}$）となるものは優角（線分$AB,BC$のつくる角のうち大きいほう）の$∠ABC$となります。
すなわち、$(3)$はとりうる値を適切に選択することで優角、劣角どちらの$∠ABC$も表すことができます。
ちなみに$∠ABC=\left|\text{Arg}\
\dfrac{\gamma}{\alpha}\right|$とすると、$\text{Arg}\
\dfrac{\gamma}{\alpha}=θ_1$より$∠ABC=θ_1$であることのみを表し、$|θ_2|$は含まれません。
点$B$が原点以外のとき
.png)
点$B$を原点$O$へ平行移動し、同じ移動量で2点$A,C$がそれぞれ点$A',C'$へ平行移動したとすると、$∠ABC=∠A'OC'$となります。
このとき、点$B(β)$が原点へ平行移動したときの移動量は$-β$なので、$A'(α-β),C'(γ-β)$となります。
したがって、$(3)$より
\begin{align*}\angle
A'OC'&=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|\\[0.5em]\therefore\angle
ABC&=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|\tag4\end{align*}
となることがわかります。
$β=0$のときの$(4)$が$(3)$なので、点$B$が原点$O$にあるときももちろん$(4)$を満たします。
以上より、複素数平面上の3点$A(α),B(β),C(γ)$がつくる角$∠ABC$は
\[\large\angle ABC=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|\]
で表せることがわかります。
Share:
