複素数平面上の3点がつくる角の大きさ ~ 数学について考えてみる

　複素数平面上の3点

$\text{A}(α),\text{B}(β),\text{C}(γ)$ がつくる角

$∠\text{ABC}$ は複素数

$α,β,γ$ をもちいて

$\large∠\text{ABC}=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|$

となります。

なぜこれで求めることができるのでしょうか？

$∠\text{ABC}$ を最初は線分

$\text{AB}$ が測りはじめの基準の反時計回りを正として測った線分

$\text{BC}$ までの一般角と考え、その後に符号を考慮しない角として再考することで、上記の式が成り立つことを確かめてみます。

点 $\text{B}$ が原点のとき

　角の頂点である点

$\text{B}$ が原点

$\text{O}$ にあるとき、すなわち

$β=0$ のときを考えます。

このとき、

$∠\text{ABC}$ は点

$\text{A}(α)$ の動径が基準の反時計回りを正として測った点

$\text{C}(γ)$ の動径までの一般角となるので、複素数の偏角の差より

$\begin{align*}\angle \text{ABC}&=\arg\gamma-\arg\alpha\\[0.5em]&=\arg\frac{\gamma}{\alpha}\tag1\end{align*}$

により求められます。

点

$\text{A}(α)$ の動径から点

$\text{C}(γ)$ の動径まで反時計回りに測った角度で最小のものを

$θ_1$ 、時計回りに測った角度で

$0$ を除き最小のものを

$θ_2$ とすると、偏角の主値を

$0\leqq\text{Arg}\ z<2\pi$ としたとき

$\begin{align*}\theta_1&=\text{Arg}\ \dfrac{\gamma}{\alpha}\\[1em]\theta_2&=\theta_1-2\pi=\text{Arg}\ \dfrac{\gamma}{\alpha}-2\pi\end{align*}$

と書くことができます。

したがって、

$\arg\dfrac{γ}{α}$ は

$\begin{aligned}\arg\dfrac{γ}{α}&=\theta_1+2n\pi&(n:整数)\\[0.5em]&=\theta_2+2(1+n)\pi\end{aligned}\tag2$

と書くこともできます。

$∠\text{ABC}$ を符号を考慮しない角度として再考します。

一般角は基準となる測る方向があり、測り方が基準の方向と同じ方向か逆方向かを符号で表します。

一方、符号を考慮しない角度は測り方によらないもので、一般角から符号を取り払う、すなわち絶対値をとることで求めることができます。

すると、

$(1)$ の符号を考慮しない角度は

$∠\text{ABC}=\left|\arg\frac{\gamma}{\alpha}\right|\tag3$

と表すことができます。

$(2)$ より、

$(3)$ のとりうる値は

$θ_1$ または

$|θ_2|$ 、あるいはどちらかと

$2\pi$ の自然数倍の和となります。

$(2)$ より

$\arg\dfrac{γ}{α}\leqq0$ のとき、

$0$ 以上の整数

$k$ をもちいると

$\arg\frac{\gamma}{\alpha}=\theta_1+2k\pi$

と書け、

$θ_1\geqq0$ かつ

$2k\pi\geqq0$ より

$\left|\arg\frac{\gamma}{\alpha}\right|=\theta_1+2k\pi$

$\arg\dfrac{γ}{α}>0$ のとき、

$n=-m$ （

$m:$ 自然数）とおくと

$\arg\frac{\gamma}{\alpha}=\theta_2+2(1-m)\pi$

と書け、

$θ_2<0$ より

$\begin{align*}\arg\frac{\gamma}{\alpha}&=-|\theta_2|+2(1-m)\pi\\[0.5em]&=-|\theta_2|-2(m-1)\pi\\[0.5em]&=-\bigl\{|\theta_2|+2(m-1)\pi\bigr\}\end{align*}$

$|θ_2|>0$ かつ

$2(m-1)\pi\geqq0$ より

$\left|\arg\frac{\gamma}{\alpha}\right|=|\theta_2|+2(m-1)\pi$

以上より、

$(3)$ のとりうる値は

$θ_1$ または

$|θ_2|$ 、あるいはどちらかと

$2\pi$ の自然数倍の和であることがわかります。

しかし、

$∠\text{ABC}$ の大きさは通常

$0\leqq∠\text{ABC}\leqq2\pi$ の範囲で考えるので

$(3)$ のとりうる値は

$θ_1$ か

$|θ_2|$ の2つに限定されます。

このとき

$(3)$ のとりうる値で最小（

$\min\{θ_1,|θ_2|\}$ ）となるものは劣角（線分

$\text{AB, BC}$ のつくる角のうち小さいほう）の

$∠\text{ABC}$ 、最大（

$\max\{θ_1,|θ_2|\}$ ）となるものは優角（線分

$\text{AB, BC}$ のつくる角のうち大きいほう）の

$∠\text{ABC}$ となります。

すなわち、

$(3)$ はとりうる値を適切に選択することで優角、劣角どちらの

$∠\text{ABC}$ も表すことができます。

　ちなみに

$∠\text{ABC}=\left|\text{Arg}\ \dfrac{\gamma}{\alpha}\right|$ とすると、

$\text{Arg}\ \dfrac{\gamma}{\alpha}=θ_1$ より

$∠\text{ABC}=θ_1$ であることのみを表し、

$|θ_2|$ は含まれません。

点 $\text{B}$ が原点以外のとき

　点

$\text{B}$ が原点

$\text{O}$ 以外の位置にあるときを考えます。

点

$\text{B}$ を原点

$\text{O}$ へ平行移動し、同じ移動量で2点

$\text{A, C}$ がそれぞれ点

$\text{A', C'}$ へ平行移動したとすると、

$∠\text{ABC}=∠\text{A'OC'}$ となります。

このとき、点

$\text{B}(β)$ が原点へ平行移動したときの移動量は

$-β$ なので、

$\text{A'}(α-β),\text{C'}(γ-β)$ となります。

したがって、

$(3)$ より

$\begin{align*}\angle \text{A'OC'}&=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|\\[0.5em]\therefore\angle \text{ABC}&=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|\tag4\end{align*}$

となることがわかります。

$β=0$ のときの

$(4)$ が

$(3)$ なので、点

$\text{B}$ が原点

$\text{O}$ にあるときももちろん

$(4)$ を満たします。

　以上より、複素数平面上の3点