複素数平面上の3点がつくる角の大きさ

　複素数平面上の3点$\text{A}(α),\text{B}(β),\text{C}(γ)$がつくる角$∠\text{ABC}$は複素数$α,β,γ$をもちいて

$$\large∠\text{ABC}=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|$$

となります。

なぜこれで求めることができるのでしょうか？

　$∠\text{ABC}$を最初は線分$\text{AB}$が測りはじめの基準の反時計回りを正として測った線分$\text{BC}$までの一般角と考え、その後に符号を考慮しない角として再考することで、上記の式が成り立つことを確かめてみます。

関連：一般角とは？

点$\text{B}$が原点のとき

　角の頂点である点$\text{B}$が原点$\text{O}$にあるとき、すなわち$β=0$のときを考えます。

このとき、$∠\text{ABC}$は点$\text{A}(α)$の動径が基準の反時計回りを正として測った点$\text{C}(γ)$の動径までの一般角となるので、複素数の偏角の差より

$$\begin{align*}\angle \text{ABC}&=\arg\gamma-\arg\alpha\\[0.5em]&=\arg\frac{\gamma}{\alpha}\tag1\end{align*}$$

により求められます。

関連：複素数の偏角と$\arg\cdot\text{Arg}$

点$\text{A}(α)$の動径から点$\text{C}(γ)$の動径まで反時計回りに測った角度で最小のものを$θ_1$、時計回りに測った角度で$0$を除き最小のものを$θ_2$とすると、偏角の主値を$0\leqq\text{Arg}\ z<2\pi$としたとき

$$\begin{align*}\theta_1&=\text{Arg}\ \dfrac{\gamma}{\alpha}\\[1em]\theta_2&=\theta_1-2\pi=\text{Arg}\ \dfrac{\gamma}{\alpha}-2\pi\end{align*}$$

と書くことができます。

したがって、$\arg\dfrac{γ}{α}$は

$$\begin{aligned}\arg\dfrac{γ}{α}&=\theta_1+2n\pi&(n:整数)\\[0.5em]&=\theta_2+2(1+n)\pi\end{aligned}\tag2$$

と書くこともできます。

　$∠\text{ABC}$を符号を考慮しない角度として再考します。

一般角は基準となる測る方向があり、測り方が基準の方向と同じ方向か逆方向かを符号で表します。

一方、符号を考慮しない角度は測り方によらないもので、一般角から符号を取り払う、すなわち絶対値をとることで求めることができます。

すると、$(1)$の符号を考慮しない角度は

$$∠\text{ABC}=\left|\arg\frac{\gamma}{\alpha}\right|\tag3$$

と表すことができます。

$(2)$より、$(3)$のとりうる値は$θ_1$または$|θ_2|$、あるいはどちらかと$2\pi$の自然数倍の和となります。

$(2)$より$\arg\dfrac{γ}{α}\leqq0$のとき、$0$以上の整数$k$をもちいると

$$\arg\frac{\gamma}{\alpha}=\theta_1+2k\pi$$

と書け、$θ_1\geqq0$かつ$2k\pi\geqq0$より

$$\left|\arg\frac{\gamma}{\alpha}\right|=\theta_1+2k\pi$$

$\arg\dfrac{γ}{α}>0$のとき、$n=-m$（$m:$自然数）とおくと

$$\arg\frac{\gamma}{\alpha}=\theta_2+2(1-m)\pi$$

と書け、$θ_2<0$より

$$\begin{align*}\arg\frac{\gamma}{\alpha}&=-|\theta_2|+2(1-m)\pi\\[0.5em]&=-|\theta_2|-2(m-1)\pi\\[0.5em]&=-\bigl\{|\theta_2|+2(m-1)\pi\bigr\}\end{align*}$$

$|θ_2|>0$かつ$2(m-1)\pi\geqq0$より

$$\left|\arg\frac{\gamma}{\alpha}\right|=|\theta_2|+2(m-1)\pi$$

以上より、$(3)$のとりうる値は$θ_1$または$|θ_2|$、あるいはどちらかと$2\pi$の自然数倍の和であることがわかります。

しかし、$∠\text{ABC}$の大きさは通常$0\leqq∠\text{ABC}\leqq2\pi$の範囲で考えるので$(3)$のとりうる値は$θ_1$か$|θ_2|$の2つに限定されます。

このとき$(3)$のとりうる値で最小（$\min\{θ_1,|θ_2|\}$）となるものは劣角（線分$\text{AB, BC}$のつくる角のうち小さいほう）の$∠\text{ABC}$、最大（$\max\{θ_1,|θ_2|\}$）となるものは優角（線分$\text{AB, BC}$のつくる角のうち大きいほう）の$∠\text{ABC}$となります。

すなわち、$(3)$はとりうる値を適切に選択することで優角、劣角どちらの$∠\text{ABC}$も表すことができます。

　ちなみに$∠\text{ABC}=\left|\text{Arg}\ \dfrac{\gamma}{\alpha}\right|$とすると、$\text{Arg}\ \dfrac{\gamma}{\alpha}=θ_1$より$∠\text{ABC}=θ_1$であることのみを表し、$|θ_2|$は含まれません。

点$\text{B}$が原点以外のとき

　点$\text{B}$が原点$\text{O}$以外の位置にあるときを考えます。

点$\text{B}$を原点$\text{O}$へ平行移動し、同じ移動量で2点$\text{A, C}$がそれぞれ点$\text{A', C'}$へ平行移動したとすると、$∠\text{ABC}=∠\text{A'OC'}$となります。

このとき、点$\text{B}(β)$が原点へ平行移動したときの移動量は$-β$なので、$\text{A'}(α-β),\text{C'}(γ-β)$となります。

したがって、$(3)$より

$$\begin{align*}\angle \text{A'OC'}&=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|\\[0.5em]\therefore\angle \text{ABC}&=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|\tag4\end{align*}$$

となることがわかります。

$β=0$のときの$(4)$が$(3)$なので、点$\text{B}$が原点$\text{O}$にあるときももちろん$(4)$を満たします。

　以上より、複素数平面上の3点$\text{A}(α),\text{B}(β),\text{C}(γ)$がつくる角$∠\text{ABC}$は

$$\large∠\text{ABC}=\left|\arg\frac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}\right|$$

で表せることがわかります。

関連：複素数の偏角と$\arg\cdot\text{Arg}$