台形の中の三角形の面積は？（等積変形・相似比・面積比）

「上図のような$AB//CD$である台形$ABCD$がある。平行でない対辺$AD,BC$のそれぞれ$A,B$の側を延長し、その交点を$E$とする。また、辺$CD$上に点$F$をとり$△ABF$をつくる。
台形$ABCD$の面積が$72\text{cm}^2$で$BC:BE=2:5$のとき、$△ABF$の面積を求めよ。」

　$AB//CD$より$△ABF$の頂点$F$を点$C$まで移動させて$△ABC$に変形することは等積変形となるので、$△ABF$と$△ABC$の面積は等しいことがわかります。

関連：三角形の等積変形

したがって、$△ABC$の面積を求めることができれば$△ABF$の面積がわかります。

このとき、台形$ABCD$は$△ABC$と$△ACD$の2つの三角形に分かれており、$AB//CD$より$△ABC$の辺$AB$を底辺としてみたときの高さと$△ACD$の辺$CD$を底辺としてみたときの高さが等しいことがわかります。
すなわち、$△ABC$と$△ACD$の面積比とそれぞれの底辺$AB,CD$の長さの比について$△ABC:△ACD=AB:CD$ $\cdots(1)$が成り立つということです。

　ところで、$△ABE$と$△DCE$に着目すると

• 共通の角なので$∠AEB=∠DEC$
• $AB//CD$より同位角が等しいので$∠ABE=∠DCE,∠BAE=∠CDE$

であり、3つの角がそれぞれひとしいので$△ABE$と$△DCE$が相似であることがわかります。

このことから$BE:CE=AB:DC$ $(=AB:CD)\ \cdots(2)$です。

ここで、

\[BE:CE=BE:(BC+BE)\]

であり、$BC:BE=2:5$より

\begin{align*}BE:CE&=5:(2+5)\\[0.5em]&=5:7\end{align*}

であることがわかります。
$(2)$より$AB:CD=5:7$、$(1)$より$△ABC:△ACD=5:7$であることがわかります。

　$△ABC:△ACD=5:7$であることと$台形ABCD=△ABC+△ACD$$=72[\text{cm}^2]$であることより

\begin{align*}△ABC&=\frac{5}{5+7}\times台形ABCD\\[0.5em]&=\frac{5}{12}\times72\\[0.5em]&=30[\text{cm}^2]\end{align*}

となるので、$△ABC=△ABF$より$△ABF$の面積は$\mathbf{30\text{cm}^2}$であることがわかります。

別解

　$△ABE$と$△DCE$の相似比を求めたところから相似な図形の面積比を利用します。

$△ABE$と$△DCE$の相似比$5:7$よりこれらの面積比は

\begin{align*}△ABE:△DCE&=5^2:7^2\\[0.5em]&=25:49\end{align*}

となります。

関連：相似な三角形の面積比はなぜ相似比の2乗となるのか？

ここで、$△DCE=△ABE+台形ABCD$であることより

\begin{align*}△ABE:台形ABCD&=△ABE:(△DCE-△ABE)\\[0.5em]&=25:(49-25)\\[0.5em]&=25:24\end{align*}

なので、$△ABE$の面積は

\begin{align*}△ABE:72&=25:24\\[0.5em]24△ABE&=72\times25\\[0.5em]△ABE&=3\times25\\[0.5em]&=75[\text{cm}^2]\end{align*}

であることがわかります。

　次に$△ABC$と$△ABE$に着目します。

直線$CE$上にある辺を底辺とみると$△ABC$と$△ABE$の高さは等しいので、これらの面積比はそれぞれの底辺$BC,BE$の長さの比に等しいことがわかります。

したがって、$BC:BE=2:5$より$△ABC:△ABE=2:5$なので、$△ABC$の面積は

\begin{align*}△ABC:75&=2:5\\[0.5em]5△ABC&=150\\[0.5em]△ABC&=30[\text{cm}^2]\end{align*}

となり、$△ABC=△ABF$より$△ABF$の面積は$\mathbf{30\text{cm}^2}$であることがわかります。