$△ABH$と$△DEH'$に着目すると、
$△ABC$と$△DEF$は相似であるから$∠ABH=∠DEH'\ \cdots(a)$
また、$△ABC$と$△DEF$の相似比より$AB:DE=m:n\ \cdots(b)$です。
$∠BAH=90°-∠ABH,∠EDH'=90°-∠DEH'$より$∠BAH=∠EDH'\ \cdots(c)$です。
(a)、(c)より2組の角がそれぞれ等しいので$△ABH$と$△DEH'$は相似であることがわかります。
相似比(b)より$AH:DH'=m:n$であることがわかります。また、$EF=\dfrac{n}{m}BC,DH'=\dfrac{n}{m}AH$と表せます。
したがって、$△ABC$と$△DEF$の面積はそれぞれ
\begin{align*}△ABC&=\frac{1}{2}BC\cdot AH\\[1.5em]△DEF&=\frac{1}{2}EF\cdot DH'\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\cdot\frac{n}{m}BC\cdot\frac{n}{m}AH\\[0.5em]&=\frac{n^2}{m^2}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AH\end{align*}
となるので、面積比は
\begin{align*}△ABC:△DEF&=\frac{1}{2}BC\cdot AH:\frac{n^2}{m^2}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AH\\[0.5em]&=1:\frac{n^2}{m^2}\\[0.5em]&=m^2:n^2\end{align*}
となり、相似比の2乗となることがわかります。
他の多角形は対角線によっていくつかの三角形に分割できることから、相似な多角形も面積比は相似比の2乗となります。
また、多角形以外の図形についても、例えば円を無数の三角形に分割して面積を求めるようなことができることから、面積比は相似比の2乗となります。
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