三角形の垂心は、3つの頂点からそれぞれの対辺、またはその延長へ引いた垂線同士の交点となります。
どの三角形にも垂心があることを確かめます。
鋭角三角形の場合
鋭角三角形
\text{ABC}の頂点
\text{A, B}からそれぞれ
\text{BC, AC}へ垂線を下ろし、交点を
\text{D, E}とします。
\text{AD, BE}の交点を\text{H}とし、半直線\text{CH}と\text{AB}の交点を\text{F}とします。
このとき点
\text{H}が垂心であるならば、
\text{CF}は
\text{AB}に対する垂線となるはずです。
そして∠\text{BFC}=90°となるのならば、△\text{BFH}と△\text{CHE}に着目したとき、
∠\text{BFH}=∠\text{CEH}=90°、対頂角より∠\text{BHF}=∠\text{CHE}となるから∠\text{FBH}=∠\text{ECH}が成り立つはずです。
なので、∠\text{FBH}=∠\text{ECH}が成り立つことを示すことにより、3本の頂点から対辺への垂線が1点で交わり、垂心が存在することを確かめます。
4点
\text{A, B, D, E}に着目すると
∠\text{ADB}=∠\text{AEB}=90°なので、円周角の定理の逆より
\text{A, B, D, E}は同一円周上にあることがわかります。
この円において、円周角の定理より∠\text{ABE}(=∠\text{FBH})=∠\text{ADE}が成り立ちます。
また、4点
\text{C, D, E, H}に着目すると、これらを頂点とする四角形
\text{CDEH}は
∠\text{CDH}=∠\text{CEH}=90°となり対角の和が
180°なので円に内接するため、
\text{C, D, E, H}は同一円周上にあることがわかります。
この円において、円周角の定理より∠\text{EDH}(=∠\text{ADE})=∠\text{ECH}が成り立ちます。
したがって、∠\text{FBH}=∠\text{ECH}が成り立つので\text{CF}は\text{AB}に対する垂線となり、鋭角三角形には垂心が存在することがわかります。
直角三角形の場合
∠\text{C}=90°である直角三角形
\text{ABC}の頂点
\text{A}から辺
\text{BC}へおろした垂線は辺
\text{AC}と同一の直線となります。
同様に頂点\text{B}から\text{AC}へおろした垂線は辺\text{BC}と同一の直線となります。
垂線\text{AC, BC}の交点は点\text{C}となるので、頂点\text{C}から\text{AB}へおろした垂線も必ず\text{C}で交わることになります。
したがって、直角三角形の垂心は直角の頂点と一致します。
鈍角三角形の場合
∠\text{A}が鈍角である鈍角三角形
\text{ABC}の頂点
\text{A}から
\text{BC}へ垂線を下ろし、交点を
\text{D}とします。頂点
\text{B}からは
\text{AC}の延長線へ垂線を下ろし、交点を
\text{E}とします。
\text{AD, BE}を延長してその交点を\text{H}とし、直線\text{CH}と\text{AB}の延長との交点を\text{F}とします。
鋭角三角形の場合と同様に\text{CH}が\text{AB}の延長に対する垂線ならば、△\text{BFH}と△\text{CHE}に着目したとき、∠\text{BFH}=∠\text{CEH}=90°、共通の角より∠\text{BHF}=∠\text{CHE}となるから∠\text{FBH}=∠\text{ECH}が成り立つはずなので、このことを示して点\text{H}が垂心であることを確かめます。
4点\text{A, B, D, E}に着目すると、これらを頂点とする四角形\text{ABDE}は∠\text{ADB}=∠\text{AEB}=90°となり対角の和が180°なので円に内接するため、\text{A, B, D, E}は同一円周上にあることがわかります。
この円において、円周角の定理より∠\text{ABE}(=∠\text{FBH})=∠\text{ADE}が成り立ちます。
また、4点\text{C, D, E, H}に着目すると∠\text{CDH}=∠\text{CEH}=90°なので、円周角の定理の逆より\text{C, D, E, H}は同一円周上にあることがわかります。
この円において、円周角の定理より∠\text{EDH}(=∠\text{ADE})=∠\text{ECH}が成り立ちます。
したがって、∠\text{FBH}=∠\text{ECH}が成り立つので\text{CH}は\text{AB}の延長に対する垂線となり、鈍角三角形には垂心が存在することがわかります。また、鈍角三角形の垂心は三角形の外部に存在します。
すべての三角形は鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれかに分類されるので、以上からすべての三角形には垂心が存在することがわかります。