三角形の垂心 ~ 数学について考えてみる

三角形の垂心は、3つの頂点からそれぞれの対辺、またはその延長へ引いた垂線同士の交点となります。

どの三角形にも垂心があることを確かめます。

鋭角三角形の場合

　鋭角三角形

ABC

$\text{ABC}$ の頂点

A, B

$\text{A, B}$ からそれぞれ

BC, AC

$\text{BC, AC}$ へ垂線を下ろし、交点を

D, E

$\text{D, E}$ とします。

AD, BE

$\text{AD, BE}$ の交点を

H

$\text{H}$ とし、半直線

CH

$\text{CH}$ と

AB

$\text{AB}$ の交点を

F

$\text{F}$ とします。

このとき点

H

$\text{H}$ が垂心であるならば、

CF

$\text{CF}$ は

AB

$\text{AB}$ に対する垂線となるはずです。

そして

∠ BFC = 90 °

$∠\text{BFC}=90°$ となるのならば、

△ BFH

$△\text{BFH}$ と

△ CHE

$△\text{CHE}$ に着目したとき、

∠ BFH = ∠ CEH = 90 °

$∠\text{BFH}=∠\text{CEH}=90°$ 、対頂角より

∠ BHF = ∠ CHE

$∠\text{BHF}=∠\text{CHE}$ となるから

∠ FBH = ∠ ECH

$∠\text{FBH}=∠\text{ECH}$ が成り立つはずです。

なので、

∠ FBH = ∠ ECH

$∠\text{FBH}=∠\text{ECH}$ が成り立つことを示すことにより、3本の頂点から対辺への垂線が1点で交わり、垂心が存在することを確かめます。

　4点

A, B, D, E

$\text{A, B, D, E}$ に着目すると

∠ ADB = ∠ AEB = 90 °

$∠\text{ADB}=∠\text{AEB}=90°$ なので、円周角の定理の逆より

A, B, D, E

$\text{A, B, D, E}$ は同一円周上にあることがわかります。

この円において、円周角の定理より

∠ ABE (= ∠ FBH) = ∠ ADE

$∠\text{ABE}(=∠\text{FBH})=∠\text{ADE}$ が成り立ちます。

また、4点

C, D, E, H

$\text{C, D, E, H}$ に着目すると、これらを頂点とする四角形

CDEH

$\text{CDEH}$ は

∠ CDH = ∠ CEH = 90 °

$∠\text{CDH}=∠\text{CEH}=90°$ となり対角の和が

180 °

$180°$ なので円に内接するため、

C, D, E, H

$\text{C, D, E, H}$ は同一円周上にあることがわかります。

この円において、円周角の定理より

∠ EDH (= ∠ ADE) = ∠ ECH

$∠\text{EDH}(=∠\text{ADE})=∠\text{ECH}$ が成り立ちます。

したがって、 $∠\text{FBH}=∠\text{ECH}$ が成り立つので $\text{CF}$ は $\text{AB}$ に対する垂線となり、鋭角三角形には垂心が存在することがわかります。

直角三角形の場合

∠ C = 90 °

$∠\text{C}=90°$ である直角三角形

ABC

$\text{ABC}$ の頂点

A

$\text{A}$ から辺

BC

$\text{BC}$ へおろした垂線は辺

AC

$\text{AC}$ と同一の直線となります。

同様に頂点

B

$\text{B}$ から

AC

$\text{AC}$ へおろした垂線は辺

BC

$\text{BC}$ と同一の直線となります。

垂線

AC, BC

$\text{AC, BC}$ の交点は点

C

$\text{C}$ となるので、頂点

C

$\text{C}$ から

AB

$\text{AB}$ へおろした垂線も必ず

C

$\text{C}$ で交わることになります。

したがって、直角三角形の垂心は直角の頂点と一致します。

鈍角三角形の場合

∠ A

$∠\text{A}$ が鈍角である鈍角三角形

ABC

$\text{ABC}$ の頂点

A

$\text{A}$ から

BC

$\text{BC}$ へ垂線を下ろし、交点を

D

$\text{D}$ とします。頂点

B

$\text{B}$ からは

AC

$\text{AC}$ の延長線へ垂線を下ろし、交点を

E

$\text{E}$ とします。

AD, BE

$\text{AD, BE}$ を延長してその交点を

H

$\text{H}$ とし、直線

CH

$\text{CH}$ と

AB

$\text{AB}$ の延長との交点を

F

$\text{F}$ とします。

鋭角三角形の場合と同様に $\text{CH}$ が $\text{AB}$ の延長に対する垂線ならば、 $△\text{BFH}$ と $△\text{CHE}$ に着目したとき、 $∠\text{BFH}=∠\text{CEH}=90°$ 、共通の角より $∠\text{BHF}=∠\text{CHE}$ となるから $∠\text{FBH}=∠\text{ECH}$ が成り立つはずなので、このことを示して点 $\text{H}$ が垂心であることを確かめます。

　4点 $\text{A, B, D, E}$ に着目すると、これらを頂点とする四角形 $\text{ABDE}$ は $∠\text{ADB}=∠\text{AEB}=90°$ となり対角の和が $180°$ なので円に内接するため、 $\text{A, B, D, E}$ は同一円周上にあることがわかります。
この円において、円周角の定理より $∠\text{ABE}(=∠\text{FBH})=∠\text{ADE}$ が成り立ちます。