三角形の垂心は、3つの頂点からそれぞれの対辺、またはその延長へ引いた垂線同士の交点となります。
どの三角形にも垂心があることを確かめます。
鋭角三角形の場合
鋭角三角形$\text{ABC}$の頂点$\text{A, B}$からそれぞれ$\text{BC, AC}$へ垂線を下ろし、交点を$\text{D, E}$とします。
$\text{AD, BE}$の交点を$\text{H}$とし、半直線$\text{CH}$と$\text{AB}$の交点を$\text{F}$とします。
このとき点$\text{H}$が垂心であるならば、$\text{CF}$は$\text{AB}$に対する垂線となるはずです。
そして$∠\text{BFC}=90°$となるのならば、$△\text{BFH}$と$△\text{CHE}$に着目したとき、
$∠\text{BFH}=∠\text{CEH}=90°$、対頂角より$∠\text{BHF}=∠\text{CHE}$となるから$∠\text{FBH}=∠\text{ECH}$が成り立つはずです。
なので、$∠\text{FBH}=∠\text{ECH}$が成り立つことを示すことにより、3本の頂点から対辺への垂線が1点で交わり、垂心が存在することを確かめます。
4点$\text{A, B, D, E}$に着目すると$∠\text{ADB}=∠\text{AEB}=90°$なので、円周角の定理の逆より$\text{A, B, D, E}$は同一円周上にあることがわかります。
この円において、円周角の定理より$∠\text{ABE}(=∠\text{FBH})=∠\text{ADE}$が成り立ちます。
また、4点$\text{C, D, E, H}$に着目すると、これらを頂点とする四角形$\text{CDEH}$は$∠\text{CDH}=∠\text{CEH}=90°$となり対角の和が$180°$なので円に内接するため、$\text{C, D, E, H}$は同一円周上にあることがわかります。
この円において、円周角の定理より$∠\text{EDH}(=∠\text{ADE})=∠\text{ECH}$が成り立ちます。
したがって、$∠\text{FBH}=∠\text{ECH}$が成り立つので$\text{CF}$は$\text{AB}$に対する垂線となり、鋭角三角形には垂心が存在することがわかります。
直角三角形の場合
$∠\text{C}=90°$である直角三角形$\text{ABC}$の頂点$\text{A}$から辺$\text{BC}$へおろした垂線は辺$\text{AC}$と同一の直線となります。
同様に頂点$\text{B}$から$\text{AC}$へおろした垂線は辺$\text{BC}$と同一の直線となります。
垂線$\text{AC, BC}$の交点は点$\text{C}$となるので、頂点$\text{C}$から$\text{AB}$へおろした垂線も必ず$\text{C}$で交わることになります。
したがって、直角三角形の垂心は直角の頂点と一致します。
鈍角三角形の場合
$∠\text{A}$が鈍角である鈍角三角形$\text{ABC}$の頂点$\text{A}$から$\text{BC}$へ垂線を下ろし、交点を$\text{D}$とします。頂点$\text{B}$からは$\text{AC}$の延長線へ垂線を下ろし、交点を$\text{E}$とします。
$\text{AD, BE}$を延長してその交点を$\text{H}$とし、直線$\text{CH}$と$\text{AB}$の延長との交点を$\text{F}$とします。
鋭角三角形の場合と同様に$\text{CH}$が$\text{AB}$の延長に対する垂線ならば、$△\text{BFH}$と$△\text{CHE}$に着目したとき、$∠\text{BFH}=∠\text{CEH}=90°$、共通の角より$∠\text{BHF}=∠\text{CHE}$となるから$∠\text{FBH}=∠\text{ECH}$が成り立つはずなので、このことを示して点$\text{H}$が垂心であることを確かめます。
4点$\text{A, B, D, E}$に着目すると、これらを頂点とする四角形$\text{ABDE}$は$∠\text{ADB}=∠\text{AEB}=90°$となり対角の和が$180°$なので円に内接するため、$\text{A, B, D, E}$は同一円周上にあることがわかります。
この円において、円周角の定理より$∠\text{ABE}(=∠\text{FBH})=∠\text{ADE}$が成り立ちます。
また、4点$\text{C, D, E, H}$に着目すると$∠\text{CDH}=∠\text{CEH}=90°$なので、円周角の定理の逆より$\text{C, D, E, H}$は同一円周上にあることがわかります。
この円において、円周角の定理より$∠\text{EDH}(=∠\text{ADE})=∠\text{ECH}$が成り立ちます。
したがって、$∠\text{FBH}=∠\text{ECH}$が成り立つので$\text{CH}$は$\text{AB}$の延長に対する垂線となり、鈍角三角形には垂心が存在することがわかります。また、鈍角三角形の垂心は三角形の外部に存在します。
すべての三角形は鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれかに分類されるので、以上からすべての三角形には垂心が存在することがわかります。
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