四平方の定理（ド・グアの定理） ~ 数学について考えてみる

2024年9月29日

四平方の定理（ド・グアの定理）

PLUMBAGO

　四平方の定理とは、

四面体の3つの面が互いに垂直であるとき、それぞれの面の面積の2乗の和がもう1つの面の面積の2乗に等しい

という定理です。

すなわち、四面体の互いに垂直な面の面積をそれぞれ

P, Q, R

$P, Q, R$ 、もう1つの面の面積を

S

$S$ とおくと

P^{2} + Q^{2} + R^{2} = S^{2}

$\large P^2+Q^2+R^2=S^2$

が成り立つということです。

これが成り立つことを確かめてみます。

　3つの面が互いに垂直な四面体は、座標空間の原点と原点以外の各座標軸上の任意の点を結ぶことでつくることができます。
原点

O

$\text{O}$ 以外の各座標軸上の3点の座標をそれぞれ

A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c)

$\text{A}(a,0,0),\text{B}(0,b,0),\text{C}(0,0,c)$ とすると、四面体

O - A B C

$O-ABC$ の互いに垂直な面は

OA ⊥ OB ⊥ OC

$\text{OA}\perp \text{OB}\perp \text{OC}$ より面

OAB, OBC, OCA

$\text{OAB, OBC, OCA}$ となります。

面

OAB

$\text{OAB}$ の面積

P

$P$ は

OA = | a |, OB = | b |,

$\text{OA}=|a|, \text{OB}=|b|,$

OA ⊥ OB

$\text{OA}\perp \text{OB}$ より

\begin{matrix} P & = \frac{| a | | b |}{2} = \frac{| a b |}{2} & (∵ | a | | b | = | a b |) \\ (1) \end{matrix}

$\begin{align*}P&=\frac{|a||b|}{2}\\[0.5em]&=\frac{|ab|}{2}&(\because |a||b|=|ab|)\tag1\end{align*}$

また、三平方の定理より

\begin{matrix} {AB}^{2} & = {OA}^{2} + {OB}^{2} = | a |^{2} + | b |^{2} = a^{2} + b^{2} & (∵ | a |^{2} = a^{2}) AB & = \sqrt{a^{2} + b^{2}} & (∵ AB > 0) \\ (2) \end{matrix}

$\begin{align*}\text{AB}^2&=\text{OA}^2+\text{OB}^2\\[0.5em]&=|a|^2+|b|^2\\[0.5em]&=a^2+b^2&(\because |a|^2=a^2)\\[0.5em]\text{AB}&=\sqrt{a^2+b^2}&(\because \text{AB}>0)\tag2\end{align*}$

面

OBC

$\text{OBC}$ の面積

Q

$Q$ は

OB = | b |, OC = | c |,

$\text{OB}=|b|, \text{OC}=|c|,$

OB ⊥ OC

$\text{OB}\perp \text{OC}$ より

\begin{matrix} Q = \frac{| b c |}{2} \\ (3) \end{matrix}

$Q=\frac{|bc|}{2}\tag3$

また、三平方の定理より

\begin{matrix} {BC}^{2} & = {OB}^{2} + {OC}^{2} = b^{2} + c^{2} BC & = \sqrt{b^{2} + c^{2}} & (∵ BC > 0) \\ (4) \end{matrix}

$\begin{align*}\text{BC}^2&=\text{OB}^2+\text{OC}^2\\[0.5em]&=b^2+c^2\\[0.5em]\text{BC}&=\sqrt{b^2+c^2}&(\because \text{BC}>0)\tag4\end{align*}$

面

OCA

$\text{OCA}$ の面積

R

$R$ は

OC = | c |, OA = | a |,

$\text{OC}=|c|, \text{OA}=|a|,$

OC ⊥ OA

$\text{OC}\perp \text{OA}$ より

\begin{matrix} R = \frac{| c a |}{2} \\ (5) \end{matrix}

$R=\frac{|ca|}{2}\tag5$

また、三平方の定理より

\begin{matrix} {CA}^{2} & = {OC}^{2} + {OA}^{2} = c^{2} + a^{2} CA & = \sqrt{c^{2} + a^{2}} & (∵ CA > 0) \\ (6) \end{matrix}

$\begin{align*}\text{CA}^2&=\text{OC}^2+\text{OA}^2\\[0.5em]&=c^2+a^2\\[0.5em]\text{CA}&=\sqrt{c^2+a^2}&(\because \text{CA}>0)\tag6\end{align*}$

面

ABC

$\text{ABC}$ の面積

S

$S$ は

(2), (4), (6)

$(2),(4),(6)$ とヘロンの公式より（根号内で改行あり）

\begin{matrix} S & = \frac{1}{4} \sqrt{\begin{matrix} (\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{c^{2} + a^{2}}) (- \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{c^{2} + a^{2}}) \cdot (\sqrt{a^{2} + b^{2}} - \sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{c^{2} + a^{2}}) (\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + c^{2}} - \sqrt{c^{2} + a^{2}}) \end{matrix}} = \frac{1}{4} \sqrt{\begin{matrix} {(\sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{c^{2} + a^{2}}) + \sqrt{a^{2} + b^{2}}} {(\sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{c^{2} + a^{2}}) - \sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cdot {\sqrt{a^{2} + b^{2}} - (\sqrt{b^{2} + c^{2}} - \sqrt{c^{2} + a^{2}})} {(\sqrt{a^{2} + b^{2}} + (\sqrt{b^{2} + c^{2}} - \sqrt{c^{2} + a^{2}})} \end{matrix}} = \frac{1}{4} \sqrt{\begin{matrix} {(\sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{c^{2} + a^{2}})^{2} - (a^{2} + b^{2})} \cdot {(a^{2} + b^{2}) - (\sqrt{b^{2} + c^{2}} - \sqrt{c^{2} + a^{2}})^{2}} \end{matrix}} = \frac{1}{4} \sqrt{\begin{matrix} [{(b^{2} + c^{2}) + (c^{2} + a^{2}) + 2 \sqrt{b^{2} + c^{2}} \sqrt{c^{2} + a^{2}}} - (a^{2} + b^{2})] \cdot [(a^{2} + b^{2}) - {(b^{2} + c^{2}) + (c^{2} + a^{2}) - 2 \sqrt{b^{2} + c^{2}} \sqrt{c^{2} + a^{2}}}] \end{matrix}} = \frac{1}{4} \sqrt{2 (\sqrt{b^{2} + c^{2}} \sqrt{c^{2} + a^{2}} + c^{2}) \cdot 2 (\sqrt{b^{2} + c^{2}} \sqrt{c^{2} + a^{2}} - c^{2})} = \frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{b^{2} + c^{2}} \sqrt{c^{2} + a^{2}} + c^{2}) (\sqrt{b^{2} + c^{2}} \sqrt{c^{2} + a^{2}} - c^{2})} = \frac{1}{2} \sqrt{(b^{2} + c^{2}) (c^{2} + a^{2}) - c^{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{(a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} + c^{4}) - c^{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}} \end{matrix}

$\begin{align*}S&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})(-\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})\\ &\cdot(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\bigl\{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})+\sqrt{a^2+b^2}\bigr\}\bigl\{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})-\sqrt{a^2+b^2}\bigr\}\\ &\cdot\bigl\{\sqrt{a^2+b^2}-(\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})\bigr\}\bigl\{(\sqrt{a^2+b^2}+(\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})\bigr\}\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\bigl\{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})^2-(a^2+b^2)\bigr\}\\ &\cdot\bigl\{(a^2+b^2)-(\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})^2\bigr\}\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\Big[\bigl\{(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+2\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}\bigr\}-(a^2+b^2)\Bigr]\\ &\cdot\Bigl[(a^2+b^2)-\bigl\{(b^2+c^2)+(c^2+a^2)-2\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}\bigr\}\Bigr]\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{2(\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}+c^2)\cdot2(\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}-c^2)}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}+c^2)(\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}-c^2)}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)-c^4}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+c^4)-c^4}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\end{align*}$

両辺を2乗すると

S^{2} = \frac{1}{4} (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2})

$S^2=\frac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

となり、

(1), (3), (5)

$(1),(3),(5)$ より面

OAB, OBC, OCA

$\text{OAB, OBC, OCA}$ の面積の2乗の和は

\begin{matrix} P^{2} + Q^{2} + R^{2} & = \frac{| a b |^{2}}{4} + \frac{| b c |^{2}}{4} + \frac{| c a |^{2}}{4} = \frac{a^{2} b^{2}}{4} + \frac{b^{2} c^{2}}{4} + \frac{c^{2} a^{2}}{4} = \frac{1}{4} (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) \end{matrix}

$\begin{align*}P^2+Q^2+R^2&=\frac{|ab|^2}{4}+\frac{|bc|^2}{4}+\frac{|ca|^2}{4}\\[0.5em]&=\frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^2c^2}{4}+\frac{c^2a^2}{4}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\end{align*}$

となるので、