四平方の定理（ド・グアの定理）

　四平方の定理とは、

四面体の3つの面が互いに垂直であるとき、それぞれの面の面積の2乗の和がもう1つの面の面積の2乗に等しい

という定理です。

すなわち、四面体の互いに垂直な面の面積をそれぞれ$P, Q, R$、もう1つの面の面積を$S$とおくと

$$\large P^2+Q^2+R^2=S^2$$

が成り立つということです。

これが成り立つことを確かめてみます。

　3つの面が互いに垂直な四面体は、座標空間の原点と原点以外の各座標軸上の任意の点を結ぶことでつくることができます。
原点$\text{O}$以外の各座標軸上の3点の座標をそれぞれ$\text{A}(a,0,0),\text{B}(0,b,0),\text{C}(0,0,c)$とすると、四面体$O-ABC$の互いに垂直な面は$\text{OA}\perp \text{OB}\perp \text{OC}$より面$\text{OAB, OBC, OCA}$となります。

面$\text{OAB}$の面積$P$は$\text{OA}=|a|, \text{OB}=|b|,$ $\text{OA}\perp \text{OB}$より

$$\begin{align*}P&=\frac{|a||b|}{2}\\[0.5em]&=\frac{|ab|}{2}&(\because |a||b|=|ab|)\tag1\end{align*}$$

また、三平方の定理より

$$\begin{align*}\text{AB}^2&=\text{OA}^2+\text{OB}^2\\[0.5em]&=|a|^2+|b|^2\\[0.5em]&=a^2+b^2&(\because |a|^2=a^2)\\[0.5em]\text{AB}&=\sqrt{a^2+b^2}&(\because \text{AB}>0)\tag2\end{align*}$$

関連：三平方の定理（ピタゴラスの定理）

面$\text{OBC}$の面積$Q$は$\text{OB}=|b|, \text{OC}=|c|,$ $\text{OB}\perp \text{OC}$より

$$Q=\frac{|bc|}{2}\tag3$$

また、三平方の定理より

$$\begin{align*}\text{BC}^2&=\text{OB}^2+\text{OC}^2\\[0.5em]&=b^2+c^2\\[0.5em]\text{BC}&=\sqrt{b^2+c^2}&(\because \text{BC}>0)\tag4\end{align*}$$

面$\text{OCA}$の面積$R$は$\text{OC}=|c|, \text{OA}=|a|,$ $\text{OC}\perp \text{OA}$より

$$R=\frac{|ca|}{2}\tag5$$

また、三平方の定理より

$$\begin{align*}\text{CA}^2&=\text{OC}^2+\text{OA}^2\\[0.5em]&=c^2+a^2\\[0.5em]\text{CA}&=\sqrt{c^2+a^2}&(\because \text{CA}>0)\tag6\end{align*}$$

面$\text{ABC}$の面積$S$は$(2),(4),(6)$とヘロンの公式より（根号内で改行あり）

$$\begin{align*}S&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})(-\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})\\ &\cdot(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\bigl\{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})+\sqrt{a^2+b^2}\bigr\}\bigl\{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})-\sqrt{a^2+b^2}\bigr\}\\ &\cdot\bigl\{\sqrt{a^2+b^2}-(\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})\bigr\}\bigl\{(\sqrt{a^2+b^2}+(\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})\bigr\}\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\bigl\{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})^2-(a^2+b^2)\bigr\}\\ &\cdot\bigl\{(a^2+b^2)-(\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})^2\bigr\}\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\Big[\bigl\{(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+2\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}\bigr\}-(a^2+b^2)\Bigr]\\ &\cdot\Bigl[(a^2+b^2)-\bigl\{(b^2+c^2)+(c^2+a^2)-2\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}\bigr\}\Bigr]\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{2(\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}+c^2)\cdot2(\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}-c^2)}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}+c^2)(\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}-c^2)}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)-c^4}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+c^4)-c^4}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\end{align*}$$

関連：ヘロンの公式　三角形の3辺から面積を求める公式

両辺を2乗すると

$$S^2=\frac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$

となり、
$(1),(3),(5)$より面$\text{OAB, OBC, OCA}$の面積の2乗の和は

$$\begin{align*}P^2+Q^2+R^2&=\frac{|ab|^2}{4}+\frac{|bc|^2}{4}+\frac{|ca|^2}{4}\\[0.5em]&=\frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^2c^2}{4}+\frac{c^2a^2}{4}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\end{align*}$$

となるので、

$$P^2+Q^2+R^2=S^2$$

が成り立つことがわかります。

関連：三平方の定理（ピタゴラスの定理）