四面体の3つの面が互いに垂直であるとき、それぞれの面の面積の2乗の和がもう1つの面の面積の2乗に等しい
という定理です。
すなわち、四面体の互いに垂直な面の面積をそれぞれ$P, Q, R$、もう1つの面の面積を$S$とおくと
\[\large P^2+Q^2+R^2=S^2\]
が成り立つということです。
これが成り立つことを確かめてみます。
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原点$\text{O}$以外の各座標軸上の3点の座標をそれぞれ$\text{A}(a,0,0),\text{B}(0,b,0),\text{C}(0,0,c)$とすると、四面体$O-ABC$の互いに垂直な面は$\text{OA}\perp \text{OB}\perp \text{OC}$より面$\text{OAB, OBC, OCA}$となります。
面$\text{OAB}$の面積$P$は$\text{OA}=|a|, \text{OB}=|b|,$ $\text{OA}\perp \text{OB}$より
\begin{align*}P&=\frac{|a||b|}{2}\\[0.5em]&=\frac{|ab|}{2}&(\because
|a||b|=|ab|)\tag1\end{align*}
また、三平方の定理より
\begin{align*}\text{AB}^2&=\text{OA}^2+\text{OB}^2\\[0.5em]&=|a|^2+|b|^2\\[0.5em]&=a^2+b^2&(\because
|a|^2=a^2)\\[0.5em]\text{AB}&=\sqrt{a^2+b^2}&(\because
\text{AB}>0)\tag2\end{align*}
面$\text{OBC}$の面積$Q$は$\text{OB}=|b|, \text{OC}=|c|,$ $\text{OB}\perp \text{OC}$より
\[Q=\frac{|bc|}{2}\tag3\]
また、三平方の定理より
\begin{align*}\text{BC}^2&=\text{OB}^2+\text{OC}^2\\[0.5em]&=b^2+c^2\\[0.5em]\text{BC}&=\sqrt{b^2+c^2}&(\because
\text{BC}>0)\tag4\end{align*}
面$\text{OCA}$の面積$R$は$\text{OC}=|c|, \text{OA}=|a|,$ $\text{OC}\perp \text{OA}$より
\[R=\frac{|ca|}{2}\tag5\]
また、三平方の定理より
\begin{align*}\text{CA}^2&=\text{OC}^2+\text{OA}^2\\[0.5em]&=c^2+a^2\\[0.5em]\text{CA}&=\sqrt{c^2+a^2}&(\because
\text{CA}>0)\tag6\end{align*}
面$\text{ABC}$の面積$S$は$(2),(4),(6)$とヘロンの公式より（根号内で改行あり）
$(1),(3),(5)$より面$\text{OAB, OBC, OCA}$の面積の2乗の和は
\begin{align*}S&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})(-\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})\\
&\cdot(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\bigl\{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})+\sqrt{a^2+b^2}\bigr\}\bigl\{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})-\sqrt{a^2+b^2}\bigr\}\\
&\cdot\bigl\{\sqrt{a^2+b^2}-(\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})\bigr\}\bigl\{(\sqrt{a^2+b^2}+(\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})\bigr\}\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\bigl\{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})^2-(a^2+b^2)\bigr\}\\
&\cdot\bigl\{(a^2+b^2)-(\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})^2\bigr\}\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\Big[\bigl\{(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+2\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}\bigr\}-(a^2+b^2)\Bigr]\\
&\cdot\Bigl[(a^2+b^2)-\bigl\{(b^2+c^2)+(c^2+a^2)-2\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}\bigr\}\Bigr]\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{2(\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}+c^2)\cdot2(\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}-c^2)}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}+c^2)(\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}-c^2)}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)-c^4}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+c^4)-c^4}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\end{align*}
両辺を2乗すると
\[S^2=\frac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\]
となり、
$(1),(3),(5)$より面$\text{OAB, OBC, OCA}$の面積の2乗の和は
\begin{align*}P^2+Q^2+R^2&=\frac{|ab|^2}{4}+\frac{|bc|^2}{4}+\frac{|ca|^2}{4}\\[0.5em]&=\frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^2c^2}{4}+\frac{c^2a^2}{4}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\end{align*}
となるので、
\[P^2+Q^2+R^2=S^2\]
が成り立つことがわかります。
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