四面体の3つの面が互いに垂直であるとき、それぞれの面の面積の2乗の和がもう1つの面の面積の2乗に等しい
という定理です。
すなわち、四面体の互いに垂直な面の面積をそれぞれ$P,Q,R$、もう1つの面の面積を$S$とおくと
\[\large P^2+Q^2+R^2=S^2\]
が成り立つということです。
これが成り立つことを確かめてみます。
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原点$O$以外の各座標軸上の3点の座標をそれぞれ$A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)$とすると、四面体$O-ABC$の互いに垂直な面は$OA\perp OB\perp OC$より面$OAB,OBC,OCA$となります。
面$OAB$の面積$P$は$OA=|a|, OB=|b|,$$OA\perp OB$より
\begin{align*}P&=\frac{|a||b|}{2}\\[0.5em]&=\frac{|ab|}{2}&(\because
|a||b|=|ab|)\tag1\end{align*}
また、三平方の定理より
\begin{align*}AB^2&=OA^2+OB^2\\[0.5em]&=|a|^2+|b|^2\\[0.5em]&=a^2+b^2&(\because
|a|^2=a^2)\\[0.5em]AB&=\sqrt{a^2+b^2}&(\because
AB>0)\tag2\end{align*}
面$OBC$の面積$Q$は$OB=|b|, OC=|c|,$$OB\perp OC$より
\[Q=\frac{|bc|}{2}\tag3\]
また、三平方の定理より
\begin{align*}BC^2&=OB^2+OC^2\\[0.5em]&=b^2+c^2\\[0.5em]BC&=\sqrt{b^2+c^2}&(\because
BC>0)\tag4\end{align*}
面$OCA$の面積$R$は$OC=|c|, OA=|a|,$$OC\perp OA$より
\[R=\frac{|ca|}{2}\tag5\]
また、三平方の定理より
\begin{align*}CA^2&=OC^2+OA^2\\[0.5em]&=c^2+a^2\\[0.5em]CA&=\sqrt{c^2+a^2}&(\because
CA>0)\tag6\end{align*}
面$ABC$の面積$S$は$(2),(4),(6)$とヘロンの公式より（根号内で改行あり）
$(1),(3),(5)$より面$OAB,OBC,OCA$の面積の2乗の和は
\begin{align*}S&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})(-\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})\\
&\cdot(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\bigl\{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})+\sqrt{a^2+b^2}\bigr\}\bigl\{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})-\sqrt{a^2+b^2}\bigr\}\\
&\cdot\bigl\{\sqrt{a^2+b^2}-(\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})\bigr\}\bigl\{(\sqrt{a^2+b^2}+(\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})\bigr\}\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\bigl\{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})^2-(a^2+b^2)\bigr\}\\
&\cdot\bigl\{(a^2+b^2)-(\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2})^2\bigr\}\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\Big[\bigl\{(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+2\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}\bigr\}-(a^2+b^2)\Bigr]\\
&\cdot\Bigl[(a^2+b^2)-\bigl\{(b^2+c^2)+(c^2+a^2)-2\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}\bigr\}\Bigr]\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{2(\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}+c^2)\cdot2(\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}-c^2)}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}+c^2)(\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2}-c^2)}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)-c^4}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+c^4)-c^4}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\end{align*}
両辺を2乗すると
\[S^2=\frac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\]
となり、
$(1),(3),(5)$より面$OAB,OBC,OCA$の面積の2乗の和は
\begin{align*}P^2+Q^2+R^2&=\frac{|ab|^2}{4}+\frac{|bc|^2}{4}+\frac{|ca|^2}{4}\\[0.5em]&=\frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^2c^2}{4}+\frac{c^2a^2}{4}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\end{align*}
となるので、
\[P^2+Q^2+R^2=S^2\]
が成り立つことがわかります。
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