ヘロンの公式　三角形の3辺から面積を求める公式 ~ 数学について考えてみる

2022年10月16日

ヘロンの公式　三角形の3辺から面積を求める公式

PLUMBAGO

　ヘロンの公式は三角形の3辺の長さがわかっているときに使える三角形の面積を求める公式です。

三角形の3辺の長さがそれぞれ＄a, b, c＄であるとき、三角形の面積

S

$S$ は

\begin{matrix} S = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)} た だ し 、 & s = \frac{a + b + c}{2} \end{matrix}

$\begin{align*}\large S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ ただし、&s=\frac{a+b+c}{2}\end{align*}$

で求められます。

なぜ、この公式で面積を求められるのでしょうか？

　上図のように三角形の各辺の長さを

a, b, c

$a, b, c$ 、各辺の対角を

A, B, C

$\text{A, B, C}$ とおくと、2辺とその間の角を使って三角形の面積

S

$S$ は

S = \frac{1}{2} a b sin C

$S=\frac{1}{2}ab\sin \text{C}$

で求められます。

三角関数の相互関係

{sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より

0 ° < θ < 180 °

$0°<\theta<180°$ のとき

sin θ = \sqrt{1 - {cos}^{2} θ}

$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$ なので、

S = \frac{1}{2} a b \sqrt{1 - {cos}^{2} C}

$S=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2\text{C}}$

となります。

また、余弦定理

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos C

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \text{C}$ より

cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

$\cos \text{C}=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ なので

\begin{matrix} S & = \frac{1}{2} a b \sqrt{1 - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b})}^{2}} = \frac{1}{2} a b \sqrt{1 - \frac{(a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}}{(2 a b)^{2}}} = \frac{1}{2} a b \sqrt{\frac{(2 a b)^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}}{(2 a b)^{2}}} = \frac{1}{2} a b \cdot \frac{1}{2 a b} \sqrt{(2 a b)^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}} = \frac{1}{4} \sqrt{(2 a b)^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}} \end{matrix}

$\begin{align*}S&=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{(2ab)^2}}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{(2ab)^2}}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}ab\cdot\frac{1}{2ab}\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\end{align*}$

根号の中身は因数分解公式

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ で因数分解できるので

$\begin{align*}S&=\frac{1}{4}\sqrt{(2ab+a^2+b^2-c^2)\left\{2ab-(a^2+b^2-c^2)\right\}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\left\{(a^2+2ab+b^2)-c^2\right\}\left\{c^2-(a^2-2ab+b^2)\right\}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\left\{(a+b)^2-c^2\right\}\left\{c^2-(a-b)^2\right\}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}\tag{*}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)\left\{(a+b+c)-2c\right\}\left\{(a+b+c)-2b\right\}\left\{(a+b+c)-2a\right\}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)\left\{(a+b+c)-2a\right\}\left\{(a+b+c)-2b\right\}\left\{(a+b+c)-2c\right\}}\end{align*}$

ここで、

$s=\dfrac{a+b+c}{2}$ とおくと

$\begin{align*}S&=\frac{1}{4}\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{2s\cdot2(s-a)\cdot2(s-b)\cdot2(s-c)}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{16s(s-a)(s-b)(s-c)}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\cdot4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\[0.5em]&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\end{align*}$

となります。

したがって、三角形の3辺がわかっているとき、この公式で三角形の面積を求めることができることがわかります。

また、ヘロンの公式は

$(*)$ を変形した