対角線の長さとなす角から平行四辺形の面積を求める

「平行四辺形$ABCD$の対角線$AC$の長さが$4$、$BD$の長さが$6$、対角線同士のなす角が$60°$のとき、平行四辺形の面積を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　まずは平行四辺形$ABCD$の対角線$AC$の長さが$m$、$BD$の長さが$n$、対角線同士のなす角が$\theta$の場合を考えてみます。
対角線同士の交点を$O$とすると、平行四辺形の性質より対角線は互いの中点で交わります。

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したがって、

\begin{align*}AO=CO=\frac{m}{2}\\[1em]BO=DO=\frac{n}{2}\end{align*}

です。

ここで、$△OAB$の面積は

\begin{align*}△OAB&=\frac{1}{2}AO\cdot BO\sin\theta\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\cdot\frac{m}{2}\cdot\frac{n}{2}\sin\theta\\[0.5em]&=\frac{mn}{8}\sin\theta\end{align*}

で求められます。

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$△OAD$の面積は$∠AOD=180°-θ$、$\sin(180°-\theta)=\sin\theta$より

\begin{align*}△OAD&=\frac{1}{2}AO\cdot DO\sin(180°-\theta)\\[0.5em]&=\frac{mn}{8}\sin\theta\end{align*}

で求められます。

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$△OAB$と$△OCD$、$△OBC$と$△ODA$は合同で、いずれの三角形の面積も$\dfrac{mn}{8}\sin\theta$であるから、平行四辺形$ABCD$の面積はいずれかの三角形の面積の4倍となるので、

\begin{align*}□ABCD&=4\cdot\frac{mn}{8}\sin\theta\\[0.5em]&=\frac{mn}{2}\sin\theta\end{align*}

であるとわかります。

　問題の場合$m=4,n=6,\theta=60°$なので、上の式に代入すると

\begin{align*}□ABCD&=\frac{4\cdot6}{2}\sin60°\\[0.5em]&=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\[0.5em]&=6\sqrt{3}\end{align*}

となります。

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