底辺の長さと高さを利用
S=\frac{1}{2}bh
となります。
高さとは底辺の端点でない頂点から底辺までの最短距離です。
2辺とその間の角を利用
S=\frac{1}{2}ab\sin \text{C}=\frac{1}{2}bc\sin \text{A}=\frac{1}{2}ca\sin \text{B}
となります。
3辺の長さを利用
三角形の3辺a, b, cを使って三角形の面積Sを求めると
\begin{align*}S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\
ただし、&s=\frac{a+b+c}{2}\end{align*}
となります。これはヘロンの公式と呼ばれます。
座標平面上の三角形
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ベクトルと2辺とその間の角を利用した三角形の面積の求め方から
\begin{align*}S&=\frac{1}{2}|\vec{\text{AB}}||\vec{\text{AC}}|\sin∠\text{BAC}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}|(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(b_2-a_2)(c_1-a_1)|\\[1.5em]S&=\frac{1}{2}|\vec{\text{BC}}||\vec{\text{BA}}|\sin∠\text{ABC}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}|(c_1-b_1)(a_2-b_2)-(c_2-b_2)(a_1-b_1)|\\[1.5em]S&=\frac{1}{2}|\vec{\text{CA}}||\vec{\text{CB}}|\sin∠\text{ACB}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}|(a_1-c_1)(b_2-c_2)-(a_2-c_2)(b_1-c_1)|\end{align*}
となります。
座標空間内の三角形
.png)
ベクトルの外積を利用して面積Sは
\begin{align*}S&=\frac{1}{2}|\vec{\text{AB}}\times\vec{\text{AC}}|\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{\begin{aligned}&\left\{(b_2-a_2)(c_3-a_3)-(b_3-a_3)(c_2-a_2)\right\}^2\\
&\quad+\left\{(b_3-a_3)(c_1-a_1)-(b_1-a_1)(c_3-a_3)\right\}^2\\
&\quad+\left\{(b_1-a_1)(c_3-a_3)-(b_3-a_3)(c_1-a_1)\right\}^2\end{aligned}}\\[1.5em]S&=\frac{1}{2}|\vec{\text{BC}}\times\vec{\text{BA}}|\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{\begin{aligned}&\left\{(c_2-b_2)(a_3-b_3)-(c_3-b_3)(a_2-c_2)\right\}^2\\
&\quad+\left\{(c_3-b_3)(a_1-b_1)-(c_1-b_1)(a_3-c_3)\right\}^2\\
&\quad+\left\{(c_1-b_1)(a_3-b_3)-(c_3-b_3)(a_1-b_1)\right\}^2\end{aligned}}\\[1.5em]S&=\frac{1}{2}|\vec{\text{CA}}\times\vec{\text{CB}}|\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{\begin{aligned}&\left\{(a_2-c_2)(b_3-c_3)-(a_3-c_3)(b_2-c_2)\right\}^2\\
&\quad+\left\{(a_3-c_3)(b_1-c_1)-(a_1-c_1)(b_3-c_3)\right\}^2\\
&\quad+\left\{(a_1-c_1)(b_3-c_3)-(a_3-c_3)(b_1-c_1)\right\}^2\end{aligned}}\end{align*}
となります。※根号の中が非常に長いため改行してあります。
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