三角形の面積を求める式いろいろ

底辺の長さと高さを利用

　三角形の底辺の長さ$b$と高さ$h$を使って三角形の面積$S$を求めると

\[S=\frac{1}{2}bh\]

となります。

高さとは底辺の端点でない頂点から底辺までの最短距離です。

2辺とその間の角を利用

　三角形の3辺$a,b,c$と対角$A,B,C$のうち2辺とその間の角を使って三角形の面積$S$を求めると

\[S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B\]

となります。

関連：なぜsinを使って三角形の面積を求めることができるのか？

3辺の長さを利用

　三角形の3辺$a,b,c$を使って三角形の面積$S$を求めると

\begin{align*}S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ ただし、&s=\frac{a+b+c}{2}\end{align*}

となります。これはヘロンの公式と呼ばれます。

関連：ヘロンの公式　三角形の3辺から面積を求める公式

座標平面上の三角形

　座標平面上の3点$A(a_1,a_2),B(b_1,b_2),C(c_1,c_2)$よりできる$△ABC$において

ベクトルと2辺とその間の角を利用した三角形の面積の求め方から

\begin{align*}S&=\frac{1}{2}|\vec{AB}||\vec{AC}|\sin∠BAC\\[0.5em]&=\frac{1}{2}|(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(b_2-a_2)(c_1-a_1)|\\[1.5em]S&=\frac{1}{2}|\vec{BC}||\vec{BA}|\sin∠ABC\\[0.5em]&=\frac{1}{2}|(c_1-b_1)(a_2-b_2)-(c_2-b_2)(a_1-b_1)|\\[1.5em]S&=\frac{1}{2}|\vec{CA}||\vec{CB}|\sin∠ACB\\[0.5em]&=\frac{1}{2}|(a_1-c_1)(b_2-c_2)-(a_2-c_2)(b_1-c_1)|\end{align*}

となります。

関連：原点と他の2点から作られる三角形の面積を求める

座標空間内の三角形

　座標空間内の3点$A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3),C(c_1,c_2,c_3)$よりできる$△ABC$において

ベクトルの外積を利用して面積$S$は

\begin{align*}S&=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{\begin{aligned}&\left\{(b_2-a_2)(c_3-a_3)-(b_3-a_3)(c_2-a_2)\right\}^2\\ &\quad+\left\{(b_3-a_3)(c_1-a_1)-(b_1-a_1)(c_3-a_3)\right\}^2\\ &\quad+\left\{(b_1-a_1)(c_3-a_3)-(b_3-a_3)(c_1-a_1)\right\}^2\end{aligned}}\\[1.5em]S&=\frac{1}{2}|\vec{BC}\times\vec{BA}|\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{\begin{aligned}&\left\{(c_2-b_2)(a_3-b_3)-(c_3-b_3)(a_2-c_2)\right\}^2\\ &\quad+\left\{(c_3-b_3)(a_1-b_1)-(c_1-b_1)(a_3-c_3)\right\}^2\\ &\quad+\left\{(c_1-b_1)(a_3-b_3)-(c_3-b_3)(a_1-b_1)\right\}^2\end{aligned}}\\[1.5em]S&=\frac{1}{2}|\vec{CA}\times\vec{CB}|\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\sqrt{\begin{aligned}&\left\{(a_2-c_2)(b_3-c_3)-(a_3-c_3)(b_2-c_2)\right\}^2\\ &\quad+\left\{(a_3-c_3)(b_1-c_1)-(a_1-c_1)(b_3-c_3)\right\}^2\\ &\quad+\left\{(a_1-c_1)(b_3-c_3)-(a_3-c_3)(b_1-c_1)\right\}^2\end{aligned}}\end{align*}

となります。※根号の中が非常に長いため改行してあります。