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2022年10月12日

ルーローの三角形の周の長さと面積を求める

数学 ルーローの三角形
「上の図形は正三角形の各頂点を中心とし、1辺の長さを半径とする円弧で他の2つの頂点間を結んだ図形で、ルーローの三角形と呼ばれる。
この図形を作図するときにもとになった正三角形の1辺の長さが2であったとき、この図形の周の長さと面積を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?


ルーローの三角形の周の長さはおうぎ形の弧の長さ
 ルーローの三角形は3つの合同な中心角60°のおうぎ形を120°ずつずらして重ねたような形をしています。
したがって、ルーローの三角形の周の長さは中心角60°のおうぎ形の弧の長さの3倍に等しいことがわかります。
半径r、中心角θのおうぎ形の弧の長さl
l=2πr×θ360°
であるから、半径が2、中心角が60°のおうぎ形の弧の長さは
l=2×2×π×60°360°=4π×16=23π
となります。
したがって、ルーローの三角形の周の長さはこの3倍なので2πであるとわかります。

ルーローの三角形の面積を分解して考える
 ルーローの三角形は、中心角60°のおうぎ形の面積と2つの弓形でできているので、それぞれの面積を求めます。
半径r、中心角θのおうぎ形の面積S
S=πr2×θ360°
であるから、半径が2、中心角が60°のおうぎ形の面積は
S=22π×60°360°=4π×16=23π
となります。
 次に弓形はおうぎ形から正三角形を引いた形をしています。
面積を求めるにはまずは正三角形の面積を求める必要があります。
正三角形の辺と高さの比
正三角形を頂点から対辺に垂線を下ろすと30°60°90°の直角三角形ができます。この直角三角形の3辺の比は1:2:3で正三角形の高さにあたる辺の長さは1辺の長さが2であるとき3です。
このことから、正三角形の面積は
12×2×3=3
となります。
上記よりおうぎ形の面積は23πであるから、弓形の面積は
23π3
と求められます。
 以上よりルーローの三角形の面積は
23π+2×(23π3)=2π+23
であることがわかります。

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