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2022年10月12日

ルーローの三角形の周の長さと面積を求める

数学 ルーローの三角形
「上の図形は正三角形の各頂点を中心とし、1辺の長さを半径とする円弧で他の2つの頂点間を結んだ図形で、ルーローの三角形と呼ばれる。
この図形を作図するときにもとになった正三角形の1辺の長さが2であったとき、この図形の周の長さと面積を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?


ルーローの三角形の周の長さはおうぎ形の弧の長さ
 ルーローの三角形は3つの合同な中心角60°のおうぎ形を120°ずつずらして重ねたような形をしています。
したがって、ルーローの三角形の周の長さは中心角60°のおうぎ形の弧の長さの3倍に等しいことがわかります。
半径r、中心角\thetaのおうぎ形の弧の長さl
l=2\pi r\times\frac{\theta}{360°}
であるから、半径が2、中心角が60°のおうぎ形の弧の長さは
\begin{align*}l&=2\times2\times\pi\times\frac{60°}{360°}\\[0.5em]&=4\pi\times\frac{1}{6}\\[0.5em]&=\frac{2}{3}\pi\end{align*}
となります。
したがって、ルーローの三角形の周の長さはこの3倍なので\large 2\piであるとわかります。

ルーローの三角形の面積を分解して考える
 ルーローの三角形は、中心角60°のおうぎ形の面積と2つの弓形でできているので、それぞれの面積を求めます。
半径r、中心角\thetaのおうぎ形の面積S
S=\pi r^2\times\frac{\theta}{360°}
であるから、半径が2、中心角が60°のおうぎ形の面積は
\begin{align*}S&=2^2\pi\times\frac{60°}{360°}\\[0.5em]&=4\pi\times\frac{1}{6}\\[0.5em]&=\frac{2}{3}\pi\end{align*}
となります。
 次に弓形はおうぎ形から正三角形を引いた形をしています。
面積を求めるにはまずは正三角形の面積を求める必要があります。
正三角形の辺と高さの比
正三角形を頂点から対辺に垂線を下ろすと30°-60°-90°の直角三角形ができます。この直角三角形の3辺の比は1:2:\sqrt{3}で正三角形の高さにあたる辺の長さは1辺の長さが2であるとき\sqrt{3}です。
このことから、正三角形の面積は
\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}
となります。
上記よりおうぎ形の面積は\dfrac{2}{3}\piであるから、弓形の面積は
\frac{2}{3}\pi-\sqrt{3}
と求められます。
 以上よりルーローの三角形の面積は
\frac{2}{3}\pi+2\times\left(\frac{2}{3}\pi-\sqrt{3}\right)=2\pi+2\sqrt{3}
であることがわかります。

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