直線上の点を経由したときの2点の最短距離は？

　上図のように直線$l$に関して同じ側にある2点$A,B$と直線$l$上の点$P$があります。

点$A$から点$P$を経由し点$B$までを線で結んだときの線の長さ$AP+BP$が最小になるとき点$P$は直線$l$上のどの位置にあるでしょうか？

　$AP+BP$が最小になるような点$P$の位置を探すには、まず直線$l$に関して点$B$に対称な点$B'$をおきます。
すると直線$l$は$BB'$の垂直二等分線になるので常に$BP=B'P$が成り立ちます。

このことから常に$AP+BP=AP+B'P$が成り立つので、$AP+B'P$が最小になるときどこに点$P$があるのか？とも考えることができます。

$AP+B'P$が最小になるとき点$P$は線分$AB'$上にあるので、点$P$は線分$AB'$と直線$l$の交点に存在することがわかります。

　したがって、$AP+BP$が最小になるときの直線$l$上の点$P$の位置を求めるには、直線$l$に関して点$B$に対称な点$B'$と点$A$を結んだ線分$AB'$と直線$l$の交点を作図すれば良いことになります。