円に内接する四角形の4辺の長さがわかっているとき、この四角形の面積$S$は
\begin{align*}S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\\
ただし、&s=\frac{a+b+c+d}{2}\end{align*}
で求めることができます。この式をブーラマグプタの公式と呼びます。
なぜこの式で面積を求めることができるのでしょうか？
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円に内接する四角形$ABCD$の各辺の長さを$AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$とします。
$∠ABC=\theta$とすると、円に内接する四角形の対角の和は$180°$なので、$∠CDA=180°-\theta$となります。
対角線$AC$を引き、その長さを$e$とおくと、余弦定理より
$△ABC$において
$△ABC$において
\begin{equation}e^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\end{equation}
$△CDA$において
\begin{equation}e^2=c^2+d^2-2cd\cos(180°-\theta)\end{equation}
となります。
ここで、三角関数の性質より$\cos(180°-\theta)=-\cos\theta$なので、(2)は
\begin{align*}e^2&=c^2+d^2-2cd(-\cos\theta)\\[0.5em]&=c^2+d^2+2cd\cos\theta\tag3\end{align*}
となります。
(1)と(3)を連立して$\cos\theta$について解くと
\begin{align*}a^2+b^2-2ab\cos\theta&=c^2+d^2+2cd\cos\theta\\[0.5em]2(ab+cd)\cos\theta&=a^2+b^2-c^2-d^2\\[0.5em]\cos\theta&=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}\tag4\end{align*}
$□ABCD$の面積を$S$とすると
\begin{align*}S&=△ABC+△CDA\\[0.5em]&=\frac{1}{2}ab\sin\theta+\frac{1}{2}cd\sin(180°-\theta)\end{align*}
となります。
ここで、三角関数の性質より$\sin(180°-\theta)=\sin\theta$なので、
\begin{align*}S&=\frac{1}{2}ab\sin\theta+\frac{1}{2}cd\sin\theta\\[0.5em]&=\frac{1}{2}(ab+cd)\sin\theta\end{align*}
また、三角関数の相互関係$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$より、$0°<\theta<180°$のとき$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$なので、
\[S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{1-\cos^2\theta}\]
となります。
これに(4)を代入して
\begin{align*}S&=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}\right)^2}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{\frac{4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4(ab+cd)^2}}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}(ab+cd)\cdot\frac{1}{2(ab+cd)}\sqrt{4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\left\{2(ab+cd)-(a^2+b^2-c^2-d^2)\right\}\\
&\quad\cdot\left\{2(ab+cd)+(a^2+b^2-c^2-d^2)\right\}\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\left\{(c^2+2cd+d^2)-(a^2-2ab+b^2)\right\}\\
&\quad\cdot\left\{(a^2+2ab+b^2)-(c^2-2cd+d^2)\right\}\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\left\{(c+d)^2-(a-b)^2\right\}\\
&\quad\cdot\left\{(a+b)^2-(c-d)^2\right\}\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\left\{(c+d)-(a-b)\right\}\left\{(c+d)+(a-b)\right\}\\
&\quad\cdot\left\{(a+b)-(c-d)\right\}\left\{(a+b)+(c-d)\right\}\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&(-a+b+c+d)(a-b+c+d)\\
&\quad\cdot(a+b-c+d)(a+b+c-d)\end{aligned}}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{\begin{aligned}&\left\{(a+b+c+d)-2a\right\}\left\{(a+b+c+d)-2b\right\}\\
&\quad\cdot\left\{(a+b+c+d)-2c\right\}\left\{(a+b+c+d)-2d\right\}\end{aligned}}\end{align*}
※5行目から根号内で改行しています。
ここで、$s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$とおくと
\begin{align*}S&=\frac{1}{4}\sqrt{(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2d)}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{2(s-a)\cdot2(s-b)\cdot2(s-c)\cdot2(s-d)}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\sqrt{16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\\[0.5em]&=\frac{1}{4}\cdot4\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\\[0.5em]&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\end{align*}
となります。
式の形や導出過程がヘロンの公式と似ています。
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辺$AB,BC,CD,DA$と内接円の接点をそれぞれ$P,Q,R,S$とすると、2本の接線の交点から接点までの距離は等しいので、各線分の長さを
\begin{cases}AP=SA=w\\[0.5em]PB=BQ=x\\[0.5em]QC=CR=y\\[0.5em]RD=DS=z\end{cases}
とすると
\begin{cases}a=w+x\\[0.5em]b=x+y\\[0.5em]c=y+z\\[0.5em]d=z+w\end{cases}
また、$a+b+c+d=2w+2x+2y+2z$より$s=w+x+y+z$なので、ブラーマグプタの公式に代入すると
\begin{align*}S&=\sqrt{\begin{aligned}&\left\{(w+x+y+z)-(w+x)\right\}\left\{(w+x+y+z)-(x+y)\right\}\\
&\quad\cdot\left\{(w+x+y+z)-(y+z)\right\}\left\{(w+x+y+z)-(z+w)\right\}\end{aligned}}\\
\\
&=\sqrt{(y+z)(z+w)(w+x)(x+y)}\\[0.5em]&=\sqrt{cdab}=\sqrt{abcd}\end{align*}
となります。
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