The two tangent theorem（2接線の定理）

　The two tangent theorem（2接線の定理）とは、円$\text{O}$の外にある点$\text{P}$を通る円$\text{O}$の2接線$\text{PA, PB}$（点$\text{A, B}$は円$\text{O}$の接点）の間に

$$\large \text{PA}=\text{PB}$$

という関係があることを表す定理です。

　これが成立することを確かめてみます。

$△\text{OPA}$と$△\text{OPB}$について考えます。

$\text{PA, PB}$は円$\text{O}$の接線なので$∠\text{OAP}=∠\text{OBP}=90°$
したがって、$△\text{OPA}$と$△\text{OPB}$は直角三角形です。
$\text{OP}$は共通、$\text{OA, OB}$は円$\text{O}$の半径なので$\text{OA}=\text{OB}$
よって、直角三角形の斜辺と他の1組の辺の長さがそれぞれ等しいので$△\text{OPA}$と$△\text{OPB}$は合同です。

以上より、$\text{PA}=\text{PB}$であることがわかります。

　これを利用したものに以下のようなものがあります。

円$\text{O}$の外の点$\text{P}$を通る円$\text{O}$の2接線$\text{PA, PB}$と弧$\text{AB}$上の点を接点とする接線との交点を$\text{C, D}$とする。ただし、$\text{PA}>\text{PC, PB}>\text{PD}$。このとき$△\text{PCD}$の周の長さは$\text{PA}$と$\text{PB}$の和に等しい。

これが成立することを確かめてみます。

円$\text{O}$と$\text{CD}$の接点を$\text{Q}$とすると、$\text{CA, CQ}$は点$\text{C}$を通る接線であるため$\text{CA}=\text{CQ}$、
$\text{DB, DQ}$は点$\text{D}$を通る接線であるため$\text{DB}=\text{DQ}$
また、$\text{PA}=\text{PC}+\text{CA}$より、$\text{PA}=\text{PC}+\text{CQ}$、
$\text{PB}=\text{PD}+\text{DB}$より、$\text{PB}=\text{PD}+\text{DQ}$
$△\text{PCD}$の周の長さは$\text{PC}+\text{PD}+\text{CD}$であり、$\text{PC}+\text{PD}+\text{CQ}+\text{DQ}$とも書けて後者に上記の式を代入すると

$$\text{PC}+\text{PD}+\text{CD}=\text{PA}+\text{PB}$$

したがって、$△\text{PCD}$の周の長さは$\text{PA}+\text{PB}$に等しいことがわかります。

外部リンク：The Two Tangent Theorem | Geometry Help

外部リンク：Find the Perimeter of the Green Triangle | Step-by-Step Explanation - YouTube

幾何の有名な定理 (数学ワンポイント双書 36)

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