ベクトルの内積の求め方

「始点の座標が$(2,3)$、終点の座標が$(6,6)$である$\vec{a}$と始点の座標が$(6,6)$で大きさが3の$\vec{b}$がある。
$\vec{a},\vec{b}$が上図のような位置関係であるとき内積$\vec{a}\cdot\vec{b}$を求めよ。」

　ベクトルの内積は、

\[\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cosθ\]

により求めることができます。

$\vec{a}$の成分は、始点と終点の座標より

\[\vec{a}=(6,6)-(2,3)=(4,3)\]

なので、大きさは

\[|\vec{a}|=\sqrt{4^2+3^2}=5\]

となります。

ベクトルのなす角$θ$は、2つのベクトルの始点を揃えたときにできる$180°$以下の角のことなので図より

\[θ=180°-45°=135°\]

であるから、

\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=5\cdot3\cos135°\\[0.5em]&=15\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\[0.5em]&=-\frac{15\sqrt{2}}{2}\end{align*}

となります。

関連：ベクトルの内積を表す2式