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2022年3月16日

ベクトルの内積の求め方

ベクトルaとベクトルbの内積を求めよ
「始点の座標が(2,3)、終点の座標が(6,6)である\vec{a}と始点の座標が(6,6)で大きさが3の\vec{b}がある。
\vec{a},\vec{b}が上図のような位置関係であるとき内積\vec{a}\cdot\vec{b}を求めよ。」

 ベクトルの内積は、
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cosθ
により求めることができます。
\vec{a}の成分は、始点と終点の座標より
\vec{a}=(6,6)-(2,3)=(4,3)
なので、大きさは
|\vec{a}|=\sqrt{4^2+3^2}=5
となります。
ベクトルaとベクトルbのなす角
ベクトルのなす角θは、2つのベクトルの始点を揃えたときにできる180°以下の角のことなので図より
θ=180°-45°=135°
であるから、
\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=5\cdot3\cos135°\\[0.5em]&=15\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\[0.5em]&=-\frac{15\sqrt{2}}{2}\end{align*}
となります。

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