ax^2+bx+c=0の解をα,β（ただし、α<β）とおきます。
このとき、2解の和、差、積、商はどのように表されるのでしょうか？
ax^2+bx+c=0の解は解の公式より
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
となります。
したがって、\alpha,\betaそれぞれは上記の2解のどちらか一方と対応することになります。
2解の和
2解の和\alpha+\betaは以下のように求められます。
\begin{align*}\alpha+\beta&=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[0.5em]&=\frac{-2b}{2a}\\[0.5em]&=-\frac{b}{a}\end{align*}
この方法とは別にax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)となることから右辺を展開して
ax^2+bx+c=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta
xの項の係数を比較して
\begin{align*}b&=-a(\alpha+\beta)\\[0.5em]
\alpha+\beta&=-\frac{b}{a}\end{align*}
となることからもわかります。
2解の差
2解の差\beta-\alphaは以下のように求められます。
\begin{align*}\beta-\alpha&=\left|\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right|\\[0.5em]&=\left|\frac{-2\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right|\\[0.5em]&=\left|\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\right|\end{align*}
\alpha,\betaの大小関係はこの2解の差に関わります。\alpha<\betaより\beta-\alpha>0です。
解の公式から得られる2解はa,b,cの値によってどちらが大きいかが変わるので、上式の両辺がともに正となるためには左辺を絶対値で考える必要があります。
2解の積
2解の積\alpha\betaは以下のように求められます。
\begin{align*}\alpha\beta&=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[0.5em]&=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}\\[0.5em]&=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\[0.5em]&=\frac{4ac}{4a^2}\\[0.5em]&=\frac{c}{a}\end{align*}
別の方法として2解の和のときと同様に
ax^2+bx+c=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta
の定数項を比較して
\begin{align*}c&=a\alpha\beta\\[0.5em]\alpha\beta&=\frac{c}{a}\end{align*}
となることからもわかります。
2解の商
2解の商\dfrac{\alpha}{\beta}は以下のように求められます。
\begin{align*}\frac{\alpha}{\beta}&=\cfrac{\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}{\cfrac{-b\mp\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\[0.5em]&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{-b\mp\sqrt{b^2-4ac}}×\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\\[0.5em]&=\frac{b^2-2ac\mp
b\sqrt{b^2-4ac}}{2ac}&(複号同順)\\[0.5em]\therefore\frac{\alpha}{\beta}&=\frac{b^2-2ac+b\sqrt{b^2-4ac}}{2ac},\frac{b^2-2ac-b\sqrt{b^2-4ac}}{2ac}\end{align*}
複号が含まれるのは2解の差のときと同様、解の公式から得られる2解の大小関係はa,b,cの値によるためで、それによってそれぞれ\alpha,\betaのどちらに対応するのかが変わるためです。
これらは分母にx^2の係数aが含まれているためa\neq0でないと成り立ちません。これは2次方程式であるための条件なので当然ではあります。
2解の商の場合はc=0のとき必ず解の1つが0になるため有理化前であれば\dfrac{\alpha}{\beta}か\dfrac{\beta}{\alpha}の一方が0でもう一方が分母が0で計算できなくなります。有理化後の式だとどちらも分母が0になり計算できないので、成り立つ条件としてc\neq0も含みます。
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