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2022年3月29日

三角比で平行四辺形の面積を求める

平行でない2辺がa,bでその間の角がθの平行四辺形の面積
 平行でない2辺の長さがそれぞれa,bで、その間の内角がθである平行四辺形の面積は
\large ab\sinθ
で求めることができます。

なぜこの式で面積を求めることができるのでしょうか?


垂線を引いて鋭角の1つがθの直角三角形をつくる
 長さがaの辺の内角θでないもう一方の頂点から長さがbの辺へ垂線をおろすと鋭角の1つがθで斜辺の長さがaの直角三角形ができます。
この直角三角形の三角比を利用すると垂線の長さはa\sinθとなります。
平行四辺形の面積は底辺の長さと高さの積なので
b×a\sinθ=\mathbf{ab\sinθ}
という式で求められることがわかります。

平行四辺形を対角線で半分に切ってできる三角形の面積
 また、平行四辺形は三角形の倍積変形でできる図形であることを考えると平行四辺形の面積の半分が三角形の面積なので
\large\frac{1}{2}ab\sinθ
で求めることができます。

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