帯分数で指数を含む計算をする

「次の計算をせよ。

\[2^2\frac{2}{3}+\left(1\frac{1}{2}\right)^2-2\frac{3^2}{4}\]

ただし、乗算記号の省略はない」

　帯分数とは、整数と分数の和を1つの数のように表したもので例えば$\dfrac{5}{2}$は$2$と$\dfrac{1}{2}$に分けられるので$2\dfrac{1}{2}$と表します。

整数と分数の和であるため加算記号$+$を省略しており、加算記号を付け加えると
\[2\frac{1}{2}=2+\frac{1}{2}\]
となります。

　したがって、問題の場合は

\[2^2\frac{2}{3}+\left(1\frac{1}{2}\right)^2-2\frac{3^2}{4}=\left(2^2+\frac{2}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)^2-\left(2+\frac{3^2}{4}\right)\]

となり、これを計算すれば良いので

\begin{align*}&\left(2^2+\frac{2}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)^2-\left(2+\frac{3^2}{4}\right)\\ \\ &=\left(4+\frac{2}{3}\right)+\left\{1^2+2×1×\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right\}-\left(2+\frac{9}{4}\right)\\ \\ &=\left(4+\frac{2}{3}\right)+\left(2+\frac{1}{4}\right)-\left(2+\frac{9}{4}\right)\\ \\ &=\left(4+\frac{2}{3}\right)-\frac{8}{4}\\ \\ &=4+\frac{2}{3}-2\\ \\ &=2+\frac{2}{3}\end{align*}

となります。